5.58 Um campo de velocidade é dado por , em que , , e as coordenadas são medidas em metros. Determine o valor próprio para C se o escoamento é incompressível. Calcule a aceleração de uma partícula fluida localizada no ponto (x,y)=(3,2). Esboce algumas linhas de corrente do escoamento no plano xy.
Passo 1
Vamos começar pela equação da continuidade
Para incompressível, podemos tirar o de dentro da derivada e
Simplificando, ficamos com
Como , e
Como
Passo 2
Para a aceleração da partícula
Calculando as derivadas parciais primeiro
Substituindo
No ponto
Com , , e
Passo 3
Pela definição de linhas de corrente
Separando as variáveis e integrando
Onde K é constante.
Como , podemos escrever
Manipulando matemáticamente
Chamando