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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 54

5.54 Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é axissimétrico em torno do eixo z , o qual é normal à superfícies. A componente z do escoamento segue o modelo V z = A z   s e n   2 π t T . Determine (a) a componente radial do escoamento V r e (b) as componentes convectiva e local do vetor aceleração.

Passo 1

(a) Vamos começar usando a equação da continuidade para coordenadas cinlíndricas

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + 1 r ∂ ρ V θ ∂ θ + ∂ ρ V z ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0  

Vamos considerar regime permanente e, com isso,

∂ ρ ∂ t = 0

Como é axissimétrico, então

∂ ρ V θ ∂ θ = 0

Simplificando, ficamos com

1 r ∂ r ρ V r ∂ r + ∂ ρ V z ∂ z = 0

Se o escoamente é incompressível, então o ρ é constante e pode sair da derivada

ρ 1 r ∂ r V r ∂ r + ∂ V z ∂ z = 0

Dividindo por ρ dos dois lados

1 r ∂ r V r ∂ r + ∂ V z ∂ z = 0

Como V z = A z   s e n   2 π t T

1 r ∂ r V r ∂ r + ∂ A z   s e n   2 π t T ∂ z = 0

1 r ∂ r V r ∂ r + A   s e n   2 π t T = 0

Separando as variáveis e integrando em relação a r

d r V r = - A r   s e n 2 π t T d r

∫ d r V r = - A   s e n   2 π t T ∫ r   d r

r V r = - A   s e n   2 π t T r 2 2   + C

Onde C é constante em relação a r .

Para simplificar consideramos C = 0 , então ficamos com

r V r = - A   s e n   2 π t T r 2 2

V r = - A 2 r   s e n   2 π t T

Passo 2

Como V θ = 0 , vamos achar as componentes da aceleração.

Para os termos convectivos:

- Em r :

a r , c o n v = V r ∂ V r ∂ r + V z ∂ V r ∂ z

a r , c o n v = - A 2 r   s e n   2 π t T ∂ - A 2 r   s e n   2 π t T ∂ r + A z   s e n   2 π t T ∂ - A 2 r   s e n   2 π t T ∂ z

a r , c o n v = - A 2 r   s e n   2 π t T - A   s e n   2 π t T + A z   s e n   2 π t T 0

a r , c o n v = A 2 r 2   s e n   2 π t T 2

- Em z:

a z , c o n v = - A 2 r   s e n   2 π t T ∂ A z   s e n   2 π t T ∂ r + A z   s e n   2 π t T ∂ A z   s e n   2 π t T ∂ z

a z , c o n v = - A 2 r   s e n   2 π t T 0 + A z   s e n   2 π t T A   s e n   2 π t T

a z , c o n v = A 2 z   s e n   2 π t T 2

Portanto

a → c o n v = A 2 r 2   s e n   2 π t T 2 e ^ r + A 2 z   s e n   2 π t T 2 e ^ z

Para os termos locais:

- Em r:

a r , l o c = ∂ V r ∂ t

a r , l o c = ∂ - A 2 r   s e n   2 π t T ∂ t

a r , l o c = - A π r T cos ⁡ 2 π t T

-Em z:

a z , l o c = ∂ V z ∂ t

a z , l o c = ∂ A z   s e n   2 π t T ∂ t

a z , l o c = 2 A π z cos ⁡ 2 π t T

Portanto

a → l o c a l = - A π r T cos ⁡ 2 π t T e ^ r + 2 A π z cos ⁡ 2 π t T e ^ z

Resposta

V r = - A 2 r   s e n   2 π t T

a → c o n v = A 2 r 2   s e n   2 π t T 2 e ^ r + A 2 z   s e n   2 π t T 2 e ^ z

a → l o c a l = - A π r T cos ⁡ 2 π t T e ^ r + 2 A π z cos ⁡ 2 π t T e ^ z

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