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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 41

5.41 A componente x da velocidade em um campo de escoamento em regime permanente, incompressível, no plano x y , é u = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 , em que A = 2   m - 4 s - 1 e x é medido em metros. Encontre a mais simples componente y da velocidade deste campo de escoamento. Avalie a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y = ( 1.3 ) .

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4

∂ A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 = - ∂ v ∂ y

Separando as variáveis e integrando em relação a y

d v =   - A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 d y

∫ d v = - A ∫ 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 d y

v = - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5 + C

Onde C é uma constante em relação a y .

A mais simples vai ser quando C = 0 .

Então

v = - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5

Passo 2

Sabendo que V → = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 i ^ - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5 j ^

Para a celeração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 i ^ - A ( 20 x 3 y - 20 x y 3 ) j →

∂ V → ∂ y = A - 20 x 3 y + 20 x y 3 i ^ - A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 j ^

Como u = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 e v = - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5

a → p = A x 5 - 10 x 3 y 2 + 5 x y 4 A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 i ^ - A 20 x 3 y - 20 x y 3 j →

+ - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5 A - 20 x 3 y + 20 x y 3 i ^ - A 5 x 4 - 30 x 2 y 2 + 5 y 4 j ^

a → p = A 2 5 x 9 - 30 x 7 y 2 + 5 x 3 y 4 - 50 x 7 y 2 i ^ + 300 x 5 y 4 - 50 x 3 y 6 + 25 x 5 y 4 - 150   x 3 y 6 + 25 x y 8 i ^ - A 2 20 x 8 y - 20 x 6 y 3 - 200 x 6 y 3 + 200 x 4 y 5 + 100 x 4 y 5 - 100 x 2 y 7 j ^ - A 2 ( - 100 x 7 y 2 + 100 x 5 y 4 + 200 x 5 y 4 - 200 x 3 y 6 - 20 x 3 y 6 + 20 x y 8 ) i ^ + A 2 25 x 8 y - 150 x 6 y 3 + 25 x 4 y 5 - 50 x 6 y 3 + 300 x 4 y 5 - 50 x 2 y 7 + 5 x 4 y 5 - 30 x 2 y 7 + 5 y 9 j ^

a → p = A 2 5 x 9 - 30 x 7 y 2 + 5 x 5 y 4 - 50 x 7 y 2 i ^ + 300 x 5 y 4 - 50 x 3 y 6 + 25 x 5 y 4 - 150   x 3 y 6 + 25 x y 8 i ^ + A 2 - 20 x 8 y + 20 x 6 y 3 + 200 x 6 y 3 - 200 x 4 y 5 - 100 x 4 y 5 + 100 x 2 y 7 j ^ + A 2 ( 100 x 7 y 2 - 100 x 5 y 4 - 200 x 5 y 4 + 200 x 3 y 6 + 20 x 3 y 6 - 20 x y 8 ) i ^ + A 2 25 x 8 y - 150 x 6 y 3 + 25 x 4 y 5 - 50 x 6 y 3 + 300 x 4 y 5 - 50 x 2 y 7 + 5 x 4 y 5 - 30 x 2 y 7 + 5 y 9 j ^

a → p = A 2 5 x 9 + 20 x 7 y 2 + 30 x 5 y 4 + 20 x 3 y 6 + 5 x y 8 i ^

+ A 2 ( 5 x 8 y + 20 x 6 y 3 + 30 x 4 y 5 + 20 x 2 y 7 + 5 y 9 ) j ^

No ponto x , y = 1,3

a → p = A 2 5 1 9 + 20 1 7 3 2 + 30 1 5 3 4 + 20 1 3 3 6 + 5 1 3 8 i ^

+ A 2 ( 5 1 8 3 + 20 1 6 3 3 + 30 1 4 3 5 + 20 1 2 3 7 + 5 3 9 ) j ^

a → p = A 2 5 + 180 + 2430 + 14580 + 32805 i ^

+ A 2 ( 15 + 540 + 7290 + 43740 + 98415 ) j ^

a → p = A 2 50000 i ^ + A 2 ( 150000 ) j ^

Como A = 2   m - 4 s - 1

a → p = 2 2 50000 i ^ + 2 2 ( 150000 ) j ^

a → p = 200000 i ^ + 600000 j ^

Calculando o módulo

a → p = 200000 2 + 600000 2

a → p = 6,32 × 10 5   m / s 2  

Resposta

v = - A 5 x 4 y - 10 x 2 y 3 + y 5

a → p = 6,32 × 10 5   m / s 2

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