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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 42

5.42 O campo de velocidade em uma camada-limite laminar é dado pela expressão V → = A U y x 1 2 i ^ + A U y 2 4 x 3 2 j ^ . Nesta expressão, A = 141   m - 1 2 e U = 0,240   m / s é a velocidade da corrente livre. Mostre que este campo de velocidade representa um possível escoamento incompressível. Calcule a aceleração de uma partícula fluida no ponto x , y = ( 0,5   m ,   5 m m ) . Determine a inclinação da linha de corrente através desse ponto.

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Para regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = A U y x 1 2 e v = A U y 2 4 x 3 2

∂ A U y x 1 2 ∂ x + ∂ A U y 2 4 x 3 2 ∂ y = 0

- 1 2 A U y x 3 2 + 2 A U y 4 x 3 2 = 0

- 1 2 A U y x 3 2 + 1 2 A U y x 3 2 = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível escoamento incompressível.

Passo 2

Para a celeração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = - 1 2 A U y x 3 2   i ^ - 3 8 A U y 2 x 5 2 j →

∂ V → ∂ y = A U x 1 2 i ^ + 1 2 A U y x 3 2 j ^

Como u = A U y x 1 2 e v = A U y 2 4 x 3 2

a → p = A U y x 1 2 - 1 2 A U y x 3 2   i ^ - 3 8 A U y 2 x 5 2 j → + A U y 2 4 x 3 2 A U x 1 2 i ^ + 1 2 A U y x 3 2 j ^

a → p = - 1 2 A 2 U 2 y 2 x 2   i ^ - 3 8 A 2 U 2 y 3 x 3 j → + 1 4 A 2 U 2 y 2 x 2 i ^ + 1 8 A 2 U 2 y 3 x 3 j ^

a → p = - 1 4 A 2 U 2 y 2 x 2   i ^ - 1 4 A 2 U 2 y 3 x 3 j →

No ponto x , y = 0,5   m , 5   m m = 0,5   m , 0,005   m

E para A = 141   m - 1 2 e U = 0,240   m / s

a → p = - 1 4 141 2 0,240 2 0,005 2 0,5 2   i ^ - 1 4 141 2 0,240 2 0,005 3 0,5 3 j →

a → p = - 0,0286   i ^ - 0,000286 j →

O módulo da aceleração

a → p = - 0,0286 2 + - 0,000286 2

a → p = 0,0286   m / s 2

Passo 3

Para a inclinação da linha de corrente

d y d x = v u

d y d x = A U y 2 4 x 3 2 A U y x 1 2

d y d x = 1 4 y x

No ponto x , y = ( 0,5   m , 0,005   m )

d y d x = 1 4 0,005 0,5  

d y d x = 0,0025

Resposta

a → p = - 0,0286   i ^ - 0,000286 j →

a → p = 0,0286   m / s 2

d y d x = 0,0025

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