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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 86

5.86 O campo de velocidade perto do núcleo de um furacão pode ser aproximado por V → = - q 2 π r e ^ r + k 2 π r e ^ θ . Este é um campo de escoamento irrotacional? Obtenha a função de corrente para este escoamento.

Passo 1

A condição para ser irrotacional em coordenadas cilíndricas para o nosso caso é:

1 r ∂ r V θ ∂ r - 1 r ∂ V r ∂ r = 0

1 r ∂ r k 2 π r ∂ r - 1 r ∂ - q 2 π r ∂ θ = 0

0 = 0

Como satisfaz, então é irrotacional.

Passo 2

Da definição de função de corrente para coordenadas cilíndricas,

V r = 1 r ∂ ψ ∂ θ

- q 2 π r = 1 r ∂ ψ ∂ θ

Separando as variáveis e integrando,

d ψ = - q 2 π d θ

∫ d ψ = ∫ - q 2 π d θ

ψ = - q 2 π θ + C

Onde C é constante de integração.

Também da definição de função de corrente para coordenadas cilíndricas,

V θ = - ∂ ψ ∂ r

k 2 π r = - ∂ ψ ∂ r

Separando as variáveis e integrando,

d ψ = - k 2 π r d r

∫ d ψ = ∫ - k 2 π r d r

ψ = - k 2 π ln ⁡ r + K

Onde K é constante de integração.

Comparando as duas:

C = - k 2 π ln ⁡ r

K = - q 2 π θ

Então:

ψ = - k 2 π ln ⁡ r - q 2 π θ

Resposta

ψ = - k 2 π ln ⁡ r - q 2 π θ

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