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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 68

5.68 Considere o escoamento unidimensional e incompressível através do duto circular mostrado. A velocidade na seção 1 é dada por U = U 0 + U 1   s e n   ω t , em que U 0 = 20   m / s , U 1 = 2   m / s e ω = 0,3   r a d / s . As dimensões do duto são L = 1   m , R 1 = 0,2   m e R 2 = 0,1   m . Determine a aceleração da partícula na saída do duto. Trace um gráfico dos resultados como uma função do tempo para um ciclo completo. Sobre o mesmo gráfico, mostre a aceleração na saída do duto, se esse apresentar área constante em vez de convergente, e explique a diferença entre as curvas.

Passo 1

Com a equação da continuidade podemos achar a velocidade ao longo do duto.

V e A e = V A

U π R 1 2 = V π r 2

U 0 + U 1   s e n   ω t π R 1 2 = V π r 2

V = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 r 2

Mas podemos dizer que o raio varia linearmente com x, então (equação da reta):

r = a x + b

Quando x = x 1 = 0 , r = R 1 .

R 1 = a 0 + b

b = R 1

Quando x = x 2 = L ,   r = R 2 .

R 2 = a L + R 1

a = R 2 - R 1 L

Então:

r = R 2 - R 1 L x + R 1

A velocidade, em função de x, fica:

V = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 2 - R 1 L x + R 1 2

Passo 2

Como o escoamento é unidimensional (em x) e incompressível, podemos calcular a aceleração com:

a p x = V ∂ V ∂ x + ∂ V ∂ t

Vamos calcular as derivadas parciais:

∂ V ∂ x = - 2 R 2 - R 1 L U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 2 - R 1 L x + R 1 3

∂ V ∂ t = ω U 1 R 1 2 cos ⁡ ω t R 2 - R 1 L x + R 1 2

Então:

a p x = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 2 - R 1 L x + R 1 2 - 2 R 2 - R 1 L U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 2 - R 1 L x + R 1 3 + ω U 1 R 1 2 cos ⁡ ω t R 2 - R 1 L x + R 1 2

a p x = - 2 - 0,1 20 + 2   s e n   0,3 t 2 0,2 4 - 0,1 x + 0,2 5 + 0,3 2 0,2 2 cos ⁡ 0,3 t - 0,1 x + 0,2 2

a p x = - 2 - 0,1 20 + 2   s e n   0,3 t 2 0,2 4 - 0,1 x + 0,2 5 + 0,3 2 0,2 2 cos ⁡ 0,3 t - 0,1 x + 0,2 2

a p x = 0,00032 20 + 2   s e n   0,3 t 2 - 0,1 x + 0,2 5 + 0,024   cos ⁡ 0,3 t - 0,1 x + 0,2 2

Como é na saída do duto, então: x = x 2 = 1   m

a p x = 0,00032 20 + 2   s e n   0,3 t 2 - 0,1 1 + 0,2 5 + 0,024   cos ⁡ 0,3 t - 0,1 1 + 0,2 2

a p x = 0,00032 20 + 2   s e n   0,3 t 2 0,00001 + 0,024   cos ⁡ 0,3 t 0,01

a p x = 32 20 + 2   s e n   0,3 t 2 + 2,4   cos ⁡ 0,3 t

Passo 3

Se a área do duto fosse constante, ou seja, R 1 = R 2 ,

a p x = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 1 - R 1 L x + R 1 2 - 2 R 1 - R 1 L U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 1 - R 1 L x + R 1 3 + ω U 1 R 1 2 cos ⁡ ω t R 1 - R 1 L x + R 1 2

a p x = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 0 L x + R 1 2 - 2 0 L U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 0 L x + R 1 3 + ω U 1 R 1 2 cos ⁡ ω t 0 L x + R 1 2

a p x = U 0 + U 1   s e n   ω t R 1 2 R 1 2 0 + ω U 1 R 1 2 cos ⁡ ω t R 1 2

a p x = ω U 1 cos ⁡ ω t

Uma observação legal nesse ponto é que faz total sentido o nosso desenvolvimento porque conseguimos cortar os raios. Já que a área é constante, então a aceleração nao vai depender do raio.

a p x = 0,3 2 cos ⁡ ( 0,3 t )

a p x = 0,6 cos ⁡ ( 0,3 t )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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