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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45

5.45 Considere o campo de velocidade no plano x y dado por V → = A x x 2 + y 2 i ^ + A y x 2 + y 2 j ^ , em que A = 10   m 2 / s e x e y são medidos em metros. Este é um possível campo de escoamento incompressível? Deduza uma expressão para a aceleração do fluido. Avalie a velocidade e a aceleração ao longo do eixo x , do eixo y e ao longo da linha definida por y = x . O que você pode concluir sobre este escoamento?

Passo 1

Vamos começar pela equação da continuidade

∂ ρ u ∂ x + ∂ ρ v ∂ y + ∂ ρ w ∂ z + ∂ ρ ∂ t = 0

Considerando regime permanente

∂ ρ ∂ t = 0

Para escoamento incompressível, podemos tirar o ρ de dentro da derivada

ρ ∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Simplificando, ficamos com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Como é no plano x y , então

∂ w ∂ z = 0

Ficando, finalmente, com

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Como u = A x x 2 + y 2 e v = A y x 2 + y 2

∂ A x x 2 + y 2 ∂ x + ∂ A y x 2 + y 2 ∂ y = 0

A x 2 + y 2 - A x 2 x x 2 + y 2 2 + A x 2 + y 2 - A y 2 y x 2 + y 2 2 = 0

A x 2 + y 2 - 2 A x 2 x 2 + y 2 2 + A x 2 + y 2 - 2 A y 2 x 2 + y 2 2 = 0

0 = 0

Como satisfaz a equação, então é um possível campo de escoamento incompressível.

Passo 2

Para a celeração da partícula

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Como não depende de z e admitimos regime permanente

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais

∂ V → ∂ x = A y 2 - x 2 x 2 + y 2 2   i ^ + - 2 A x y x 2 + y 2 2 j →

∂ V → ∂ y = - 2 A x y x 2 + y 2 2   i ^ + A x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 j ^

Como u = A x x 2 + y 2 e v = A y x 2 + y 2

a → p = A x x 2 + y 2 A y 2 - x 2 x 2 + y 2 2   i ^ + - 2 A x y x 2 + y 2 2 j →

+ A y x 2 + y 2 - 2 A x y x 2 + y 2 2   i ^ + A x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 j ^

a → p = A 2 x y 2 - x 2 x 2 + y 2 3   i ^ + - 2 A 2 x 2 y x 2 + y 2 3 j → + - 2 A 2 x y 2 x 2 + y 2 3   i ^ + A 2 y x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 j ^

a → p = A 2 x y 2 - x 2 x 2 + y 2 3   - 2 A 2 x y 2 x 2 + y 2 3 i ^ + - 2 A 2 x 2 y x 2 + y 2 3 + A 2 y x 2 - y 2 x 2 + y 2 3 j →

a → p = A 2 x y 2 - A 2 x 3 x 2 + y 2 3   - 2 A 2 x y 2 x 2 + y 2 3 i ^ + - 2 A 2 x 2 y x 2 + y 2 3 + A 2 x 2 y - A 2 y 3 x 2 + y 2 3 j →

a → p = - A 2 x y 2 - A 2 x 3 x 2 + y 2 3   i ^ + - A 2 x 2 y - A y 3 x 2 + y 2 3 j →

a → p = - A 2 x y 2 + x 2 x 2 + y 2 3   i ^ + - A 2 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 3 j →

a → p = - A 2 x x 2 + y 2 2   i ^ + - A 2 y x 2 + y 2 2 j →

Passo 3

No eixo x : x , 0

A velocidade

V → = A x x 2 + 0 2 i ^

V → = A x i ^

A aceleração

a → p = - A 2 x x 2 + 0 2 2   i ^

a → p = - A 2 x 3   i ^

No eixo y : 0 , y

A velocidade

V → = A y 0 2 + y 2 j ^

V → = A y j ^

A aceleração

a → p = - A 2 y 0 2 + y 2 2 j →

a → p = - A 2 y 3 j →

Ao longo da linha definida por x = y : x , x

A velocidade

V → = A x x 2 + x 2 i ^ + A x x 2 + x 2 j ^

V → = A 2 x i ^ + A 2 x j ^

Resposta

Incompressível

a → p = - A 2 x x 2 + y 2 2   i ^ + - A 2 y x 2 + y 2 2 j →

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