5.78 Considere um campo de velocidade para um movimento paralelo ao eixo x com cisalhamento constante. A taxa de cisalhamento é du/dy=A, em que A = 0,1   s - 1 . Obtenha uma expressão para o campo de velocidade, V → . Calcule a taxa de rotação. Avalie a função de corrente para este campo de escoamento.

Passo 1

Vamos começar achando u:

d u d y = A

Separando as variáveis e integrando,

d u = A   d y

∫ d u = ∫ A   d y

u = A y + C

Onde C é uma constante.

Como o movimento é paralelo ao eixo x, então só tem componente em x, então:

V → = A y i ^ + C

V → = 0,1 y i ^ + C

Passo 2

Da definição de rotação:

ω → = 1 2 ∇ × V →

Como:

∇ = i ^ ∂ / ∂ x + j ^ ∂ / ∂ y + k ^ ∂ / ∂ z

E V → = A y i ^ ,

,

ω → = 1 2 i ^ j ^ k ^ ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z A y + C 0 0

ω → = - 1 2 A k ^

ω → = - 0,05 k ^

Passo 3

Da definição de função de corrente:

u = ∂ ψ ∂ y

A y + C = ∂ ψ ∂ y

Separando as variáveis e integrando:

d ψ = A y + C   d y

∫ d ψ = ∫ A y + C   d y

ψ = A y 2 2 + C y + K

Onde K é constante de integração.

ψ = A y 2 2 + C y + K

Resposta

V → = 0,1 y i ^ + C

ω → = - 0,05 k ^

ψ = A y 2 2 + C y + K

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