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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 1

6.1 Considere o campo de escoamento com velocidade dada por V → = A y 2 - x 2 - B x i ^ + 2 A x y + B y j ^ em que A = 3,28   m - 1 s - 1 , B = 3,28   m - 1 s - 1 e as oordenadas são medidas em metros. A massa específica é 1,030   k g / m 3 e a gravidade age no sentido de y negativo. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto x , y = 0,3 ; 0,3 .

Passo 1

Para a aceleração da partícula temos:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y + w ∂ V → ∂ z + ∂ V → ∂ t

Vamos considerar regime permanente ∂ V → ∂ t = 0 e que não haja componente em z w ∂ V → ∂ z = 0 , então:

a → p = u ∂ V → ∂ x + v ∂ V → ∂ y

Calculando as derivadas parciais:

∂ V → ∂ x = - 2 A x - B i ^ + 2 A y j ^

∂ V → ∂ y = 2 A y i ^ + 2 A x + B j ^

Sendo u = A y 2 - x 2 - B x e v = 2 A x y + B y :

a → p = A y 2 - x 2 - B x   - 2 A x - B i ^ + 2 A y j ^ + 2 A x y + B y 2 A y i ^ + 2 A x + B j ^

a → p = A y 2 - x 2 - 2 A x - B i ^ + A y 2 - x 2 2 A y j ^ - B x - 2 A x - B i ^ - B x 2 A y j ^

+ 2 A x y + B y A y i ^ + 2 A x y + B y 2 A x + B j ^

a → p = - 2 A 2 x y 2 - A B y 2 + 2 A 2 x 3 + A B x 2 i ^ + 2 A 2 y 3 - 2 A 2 x 2 y j ^ + 2 A B x 2 + B 2 x i ^ - 2 A B x y j ^ + 2 A 2 x y 2 + 2 A B y 2 i ^ + 4 A 2 x 2 y + 2 A B x y + 2 A B x y + B 2 y j ^

a → p = - 2 A 2 x y 2 - A B y 2 + 2 A 2 x 3 + A B x 2 + 2 A B x 2 + B 2 x + 2 A 2 x y 2 + 2 A B y 2 i ^

+ 2 A 2 y 3 - 2 A 2 x 2 y - 2 A B x y + 4 A 2 x 2 y + 2 A B x y + 2 A B x y + B 2 y j ^

a → p = A B y 2 + 2 A 2 x 3 + 3 A B x 2 + B 2 x i ^ + 2 A 2 y 3 + 2 A 2 x 2 y + 2 A B x y + B 2 y j ^

a → p = 3,28 3,28 0,3 2 + 2 3,28 2 0,3 3 + 3 3,28 3,28 0,3 2 + 3,28 2 0,3 i ^

+ 2 3,28 2 0,3 3 + 2 3,28 2 0,3 2 0,3 + 2 3,28 3,28 0,3 0,3 + 3,28 2 0,3 j ^

a → p = 5,6 i ^ + 6,3 j ^   m / s 2

Passo 2

Para o gradiente de pressão temos:

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente x da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(0,3;0,3), então:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ a p , x

Como g x = 0 e ρ é conhecido ( 1,030   k g / m 3 )

∂ p ∂ x = - 1,030 k g m 3 5,6 m s 2 = - 5,77 k g m 3 m s 2  

Sabemos, (ou fingimos que sabemo só pra fazer a mudança de unidade e chegamos em Pascal)

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = - 5,77 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = - 5,77 P a m

Passo 3

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Reparando que o que está dentro dos parênteses é a componente y da aceleração que já achamos no passo anterior inclusive no ponto (x,y)=(0,3;0,3), então:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ a p , y

Como g y = - g = - 9,81   m / s 2 e ρ é conhecido ( ρ = 1,030   k g / m 3 )

∂ p ∂ y = 1,030 k g m 3 - 9,81 m s 2 - 1,030 k g m 3 6,3 m s 2 = - 16,60 k g m 3 m s 2  

Como,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 16,60 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 16,60 P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = - 5,77 i ^ - 16,60 j ^ P a m  

Resposta

a → p = 5,6 i ^ + 6,3 j ^   m / s 2

∇ p = - 5,77 i ^ - - 16,60 j ^ P a m  

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