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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 37

Escreva as componentes da equação de Euler desenvolvendo-se tanto quanto possível em coordenadas (r, θ, z) e (ur, uθ, uz). Suponha que a gravidade age em alguma direção arbitrária.

Passo 1

Vamos primeiro partir da equação de Euler, beleza?

ρ ∂ V → ∂ t + V → . ∇ → V → = ∇ → P + ρ g →

Lembre sempre de uma coisa, o que é o operador nabla?

∇ → = ∂ (       ) / ∂ x →

Onde x → é um vetor posição.

Passo 2

Agora, a gente abre a equação e reescreve ela pra cada componente, se liga!!

Lembrando que V = ( u, v , w )!!

Direção r:

ρ ∂ u r ∂ t + u r ∂ u r ∂ r + u θ r ∂ u r ∂ θ - u θ 2 r + u z ∂ u r ∂ z = - ∂ P ∂ r + ρ g r

Direção θ:

ρ ∂ u θ ∂ t + u θ ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z = - 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ

Direção z:

ρ ∂ u z ∂ t + u r ∂ u z ∂ r + u θ r ∂ u z ∂ θ + u z ∂ u θ ∂ z = - ∂ P ∂ Z + ρ g z

Resposta

Direção r:

ρ ∂ u r ∂ t + u r ∂ u r ∂ r + u θ r ∂ u r ∂ θ - u θ 2 r + u z ∂ u r ∂ z = - ∂ P ∂ r + ρ g r

Direção θ:

ρ ∂ u θ ∂ t + u θ ∂ u θ ∂ r + u θ r ∂ u θ ∂ θ + u r u θ r + u z ∂ u θ ∂ z = - 1 r ∂ P ∂ θ + ρ g θ

Direção z:

ρ ∂ u z ∂ t + u r ∂ u z ∂ r + u θ r ∂ u z ∂ θ + u z ∂ u θ ∂ z = - ∂ P ∂ Z + ρ g z

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