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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 8º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 67

67 – Em uma operação de fábrica, um tubo de aço de 1 mm de espessura deve ser escolhido para um pino de 3 mm de diâmetro de seção transversal circular. Antes de iniciar a operação de ajuste por contração, o tubo é aquecido para 200ºC e o pino de liga de alumínio é resfriado para -100ºC. Depois que estas temperaturas são alcançadas, o tubo quente é rapidamente deslizado sobre o pino frio. O tubo subsequentemente resfria e encolhe assim como o pino aquece e expande, formando um ajuste apertado entre os dois. Se o ajuste é alcançado quando a diferença de temperatura entre o tubo e o pino é reduzido para 50ºC, quanto tempo decorre antes da formação do ajuste? A resistência térmica de 5x10-4 m2K/W. A densidade e o calor especifico da liga de alumínio é 2800 kg/m3 e 1000 J/kgK, respectivamente, enquanto que as propriedades do aço são 7800 kg/m3 e 510 J/kgK.

Passo 1

Este problema se trata de um problema se trata de um problema de um processo transiente, assim vamos ter que trabalhar com variação temporal no balanço de energia.

O balanço de energia associado ao processo em questão vai ser a taxa de variação de energia do processo será igual a o calor transferido para a liga de alumínio e também será ao calor transferido para e o tubo de aço, assim

d E d t = q a ç o = m a ç o c p , a ç o ( T a ç o , f - T a ç o , i )

d E d t = q A l = m A l c p , A l ( T A l , f - T A l , i )

d E d t = q = q A l = q a ç o = U A ∆ T

Passo 2

Vamos fazer uma modelagem para encontrarmos uma expressão para o tempo:

Fazendo um balanço de energia em um elemento diferencial:

d E = q a ç o d t = - C a ç o d T a ç o

O sinal negativo representa que a o tubo de aço está sendo resfriado.

d E = q A l d t = C A l d T A l

Onde,

C = m c p

Passo 3

Sendo

d ∆ T = d T a ç o - d T A l

Assim,

d ∆ T = - q a ç o d t C a ç o - q A l d t C A l

Substituindo as relações das taxas de transferência de calor

d ∆ T = - U A ∆ T d t C a ç o - U A ∆ T d t C A l

1 ∆ T d ∆ T = - U A 1 C a ç o - 1 C A l d t

Resolvendo essa equação diferencial:

∫ i f 1 ∆ T d ∆ T = - U A 1 C a ç o - 1 C A l ∫ 0 t d t

ln ⁡ ∆ T f ∆ T i = - U A 1 C a ç o - 1 C A l t

Onde,

∆ T f = T a ç o , f - T A l , f

∆ T i = T a ç o , i - T A l , i

Passo 4

Isolando t:

t = - 1 U A ln ⁡ T a ç o , f - T A l , f T a ç o , i - T A l , i 1 C a ç o - 1 C A l - 1

O coeficiente global de troca térmica pode ser determinado pela relação com a resistência térmica

U = 1 R t

A constante C podem ser encontradas da seguinte forma:

C = m c p = ρ V c p

O volume é

V = A L

Assim,

C = ρ A L c p

Para o aço e alumínio (Al):

C a ç o = ρ a ç o A e c p , a ç o

C A l = ρ A l A D c p , A l

Passo 5

Substituindo,

t = - R t A ln ⁡ T a ç o , f - T A l , f T a ç o , i - T A l , i 1 ρ a ç o A e c p , a ç o - 1 ρ A l A D c p , A l - 1

Podemos colocar a área A em evidência no termo entre parênteses e tirando ela do parêntese vai se anular com o outro termo, assim

t = - R t ln ⁡ T a ç o , f - T A l , f T a ç o , i - T A l , i 1 ρ a ç o e c p , a ç o - 1 ρ A l D c p , A l - 1

Aplicando os valores:

t = - ( 5 x 10 - 4 ) ln ⁡ 50 200 - ( - 100 ) 1 ( 2800 ) ( 0,001 ) ( 1000 ) - 1 ( 7800 ) ( 0,003 ) ( 510 ) - 1

t = 3,3   s

Resposta

t = 3,3   s

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