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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 145

A aceleração do conjunto carrinho/pá do Problema 4,128 deve ser controlada pela variação do ângulo da sua pá, θ , a partir do instante em que ele inicia o movimento. Uma aceleração constante, a = 1,5   m / s 2 , é desejada. O jato de água deixa o bocal de área A = 0,025   m 2 com velocidade v = 15   m / s . O conjunto carrinho/pá tem massa de 55   k g ; despreze o atrito. Determine θ no instante t = 5   s . Trace um gráfico de θ ( t ) para uma dada aceleração constante sobre uma faixa adequada de tempo.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Resistência desprezável.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = v - u ⋅ c o s   θ .

Então:

- a x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ v - u A + v - u ⋅ c o s   θ ⋅ ρ v - u A

- a x ⋅ m = v - u 2 ⋅ ρ A ⋅ ( cos ⁡ θ - 1 )

θ = cos - 1 ⁡ 1 - a x ⋅ m ρ A ⋅ v - u 2

Não possuímos u , mas sabemos que:

a x = 1,5   m / s 2

Então:

a x = d u d t =   1,5

d u = 1,5   d t

∫ 0 u d u = ∫ 0 t 1,5 d t

u = 1,5 ⋅ t

Substituindo, temos:

θ = cos - 1 ⁡ 1 - a x ⋅ m ρ A ⋅ v - 1,5 t 2

Temos que:

a = 1,5   m / s 2 ;

A = 0,025   m 2 ;

v = 15   m / s ;

m = 55   k g ;

t = 5   s ;

ρ = 1000   k g / m 3 .

Então:

θ = cos - 1 ⁡ 1 - 1,5 ⋅ 55 1000 ⋅ 0,025 ⋅ 15 - 1,5 ⋅ 5 2 = 19,7 °

Passo 4

Gráfico de θ ( t ) para uma dada aceleração constante sobre uma faixa adequada de tempo.

Resposta

θ = 19,7 °

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