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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 5.Exercício - Ex. 7

No esquema que segue, podem ocorrer duas situações:

1) o registro (B) fechado e o registro (A) aberto, a água é despejada por (1);

2) o registro (A) fechado e o registro (B) aberto, a água é despejada por (2).

Em ambos os casos, a pressão indicada na figura é a mesma, bem como se tem a mesma força F = 1090   N , necessária para o equilíbrio segundo a direção x. Determinar, para cada uma das situações citadas, qual deve ser a força para o equilíbrio, segundo a direção y.

Dados: γ H 2 O = 10000   N / m 3 ; A 0 = 100   c m 2 ; A 1 = 50   c m 2 ; A 2 = 75   c m 2 ; g = 10   m / s 2 .

Passo 1

Pelo desenho, sabemos que toda a água que entra por 0, sai por 1 ou 2, então, como a vazão é a mesma, temos:

Q 0 = Q 1 → v 0 A 0 = v 1 A 1

Q 0 = Q 2 → v 0 A 0 = v 2 A 2

Agora podemos escrever a vazão mássica do sistema:

Q m = ρ Q 0 = ρ v 0 A 0

Aplicando a equação para a força exercida pelo fluido, dada por:

F → s = - p 0 A 0 n → 0 + p 1 A 1 n → 1 + Q m v → 1 - v → 0

Vamos aplicar a equação na direção x ( → ) :

F s x = - p 0 A 0 1 + p 1 A 1 0 + Q m 0 - ( - v 0 ) = - p 0 A 0 1 + p 1 A 1 0 + ρ v 0 2 A 0

Substituindo os valores conhecidos, temos:

- 1090 = - 100.10 3 100.10 - 4 + 0 + 1000 v 0 2 100.10 - 4

v 0 2 = 90 10 → v 0 = 3   m / s

Assim, a vazão mássica é dada por:

Q m = ρ v 0 A 0 = 1000 3 100.10 - 4 → Q m = 30   k g / s

E a vazão volumétrica é:

Q = Q m ρ = 30 1000 → Q = 0,03   m 3 / s

Passo 2

Agora vamos encontrar o valor das velocidades em 1 e 2 através da vazão (que será a mesma para ambos os casos):

Q = v 1 A 1 → v 1 = Q A 1 = 0,03 50.10 - 4 → v 1 = 6   m / s

Q = v 2 A 2 → v 2 = Q A 2 = 0,03 75.10 - 4 → v 2 = 4   m / s

Passo 3

Agora iremos aplicar novamente a equação da força, só que agora analisando para o caso 1, entre os pontos 0 e 1, a equação se torna:

F → s = - p 0 A 0 n → 0 + p 1 A 1 n → 1 + Q m v → 1 - v → 0

Agora vamos calcular a componente em y ( ↑ ) :

F s y = - p 0 A 0 0 + p 1 A 1 - 1 + Q m - v 1 - 0

Substituindo os valores conhecidos:

F s y = - 0 + 0 ( 50.10 - 4 ) - 1 + 0 + 30 - 6

F s y = 180   N

Agora, da mesma forma, só que para o caso 2, entre os pontos 0 e 2, a equação se torna:

F → s = - p 0 A 0 n → 0 + p 2 A 2 n → 2 + Q m v → 2 - v → 0

Agora vamos calcular a componente em y ( ↑ ) :

F s y = - p 0 A 0 0 + p 2 A 2 1 + Q m v 2 - 0

Substituindo os valores conhecidos:

F s y = - 0 + 0 ( 50.10 - 4 ) - 1 + 0 + 30 4

F s y = - 120   N

Resposta

F s y 1 = 180   N

F s y 2 = - 120   N

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