Admita que o foguete com propelente sólido do problema P3.35 seja montado em um carro de 1000 kg para propulsioná-lo por um longo aclive de 15°. O motor de foguete pesa 900 N, incluindo 500 N de propelente. Se o carro parte do repouso quando o foguete é acionado, e o arrasto do ar e o atrito de rolagem são desprezados, calcule a distância máxima que o carro irá percorrer subindo a colina.

Passo 1

Bora lá!

Essa questão faz referência ao problema P3.35, então da uma olhadinha nele!

Temos do P3.35 que m ˙ = 12   k g / s e V s = 1150   m / s .

O sistema carro-foguete vai ter uma massa dada por:

m s i s t e m a = 1000   k g + 900   N 9,81   m / s 2 = 1092   k g

Temos que o propelente tem um peso de 500   N , então a massa que temos de propelente é de:

m p r o p e l e n t e = 500   N 9,81   m / s 2 = 51   k g

Note, a vazão de propelente é de 12 kg/s e temos um total de 51 kg de propelente, quanto tempo ele vai durar?! Temos o seguinte:

t = 51   k g 12   k g / s = 4,25   s

Passo 2

Tendo o exemplo 3.12 como base, por um balanço de forças, teremos a seguinte expressão diferencial:

( m s i s t e m a - m ˙ t ) d V d t = m ˙ V s - ( m s i s t e m a - m ˙ t ) g sen ⁡ θ

Integrando, teremos:

V t = - V s ln ⁡ 1 - m ˙ t m s i s t e m a - 1 2 g t sen ⁡ θ

Isso para um tempo menor ou igual a 4,25 s, que é quando o combustível acaba! Assim, substituindo, chegaremos a velocidade que o foguete vai atingir quando seu combustível acabar:

V t = 4,25   s = - 1150 m s ln ⁡ 1 - 12 k g s 4,25   s 1092   k g - 1 2 9,81 m s 2 4,25   s sen ⁡ 15 ° = 22,1   m / s

Passo 3

Do problema 3.99, também conseguimos utilizar uma expressão, modificando para o nosso problema, para encontrar a distância que o carro estará quando o combustível acabar, assim:

S = m s i s t e m a V s m ˙ 1 + 1 - m ˙ t m s i s t e m a ln ⁡ 1 - m ˙ t m s i s t e m a - 1 - 1 2 g t 2 sen ⁡ θ

Substituindo os valores,

S = 1092   k g 1150 m s 12 k g s [ 1 + 1 - 12 k g s 4,25   s 1092   k g ln ⁡ 1 - 12 k g s 4,25   s 1092   k g - 1 - 1 2 9,81 m s 2 4,25   s 2 sen ⁡ 15 °  

S = 47,15   m

Passo 4

Assim, para saber a distância máxima que o carro vai andar basta somarmos a distância percorrida até acabar o combustível com a distância percorrida após acabar, para descobrir essa distância percorrida após o combustível acabar, utilizaremos:

V 2 = 2 g Δ S sen ⁡ θ → Δ S = V 2 2 g sen ⁡ θ   = 22,1 m s 2 2 9,81 m s 2 sen ⁡ 15 ° = 96,18   m

Logo, a distância máxima percorrida:

d m a x = 47,15 + 96,18 = 143,3   m

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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