Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 29
A água que escoa em um tubo com de diâmetro a e de pressão manométrica entra em uma seção redutora de , a qual se conecta a um tubo vertical com de diâmetro. A entrada da curva está acima da saída. Desprezando os efeitos do atrito e gravitacionais, determine a força resultante exercida sobre o redutor pela água. Tome o fator de correção do fluxo do momento como .
Passo 1
O exercício quer que a gente calcule a força que a água exerce sobre o cotovelo. Essa força possui duas componentes: a componente horizontal do eixo e a componente vertical do eixo . A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.
é o diâmetro da seção transversal por onde a água entra no cotovelo e é o diâmetro da seção transversal por onde a água sai do cotovelo. é a pressão manométrica linha de corrente central da entrada do cotovelo e é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. é a velocidade de entrada da água e é a velocidade de saída da água. é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. é a aceleração da gravidade.
Para encontrar , precisamos calcular primeiro. Para fazer isso de forma mais fácil, temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.
Passo 2
Para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações:
- Podemos considerar que o escoamento de água está em regime permanente;
- Podemos considerar que a água é incompressível ( constante através do escoamento);
- Podemos considerar que o escoamento de água é sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento).
Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular .
onde é a densidade da água. Também precisamos considerar que a densidade da água vale . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!
Podemos calcular através da fórmula de vazão. No entanto, como consideramos o regime de escoamento permanente, a vazão de água que entra tem que ser mais do que a vazão de água que sai .
Substituindo isso na fórmula, achamos:
Passo 3
Para calcular as forças e que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.
onde é o somatório das forças horizontais (no eixo ) sobre o volume de controle, é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem segundo o enunciado.
é a velocidade da água no eixo entrando no cotovelo. é a velocidade da água no eixo saindo do cotovelo. A velocidade é vertical. Por isso, sua componente horizontal vale:
Além disso, a velocidade é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à .
Substituindo essas informações na fórmula de , encontramos:
Já as forças do eixo são apenas a força que a pressão exerce sobre a entrada do cotovelo e a força . Como as duas tem o mesmo sentido (da esqueda pra direita), a força resultante é igual à força da pressão mais .
Substituindo isso na equação anterior de , encontramos:
Passo 4
Para encontrar temos que adaptar a equação de .
onde é o somatório das forças verticais (no eixo ) sobre o volume de controle.
é a velocidade da água no eixo entrando no cotovelo. é a velocidade da água no eixo saindo do cotovelo. A velocidade é vertical para baixo. Por isso, sua componente vertical vale:
Além disso, a velocidade é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero .
Já as forças do eixo são a força e a da pressão que a água que sai do cotovelo exerce.
Como as duas têm o mesmo sentido (de baixo pra cima), a força resultante é igual a mais a força da pressão .
Substituindo isso na equação anterior, encontramos:
Passo 5
Substituindo os dados nas fórmulas de e somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total . Antes de usar as fórmulas é covertido para . Além disso, precisamos converter de centímetro para metro .
Por último precisamos converter as unidades de e de para .
Para calcular total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.