Enunciado

A água que escoa em um tubo com 30   c m de diâmetro a 5   m / s e 300   k P a de pressão manométrica entra em uma seção redutora de 90 ° , a qual se conecta a um tubo vertical com 15   c m de diâmetro. A entrada da curva está 50   c m acima da saída. Desprezando os efeitos do atrito e gravitacionais, determine a força resultante exercida sobre o redutor pela água. Tome o fator de correção do fluxo do momento como 1,04 .

Passo 1

O exercício quer que a gente calcule a força F que a água exerce sobre o cotovelo. Essa força possui duas componentes: a componente horizontal F x do eixo x e a componente vertical do eixo y . A figura abaixo mostra a linha de corrente central do cotovelo e alguns dados fornecidos pelo enunciado.

D 1 é o diâmetro da seção transversal por onde a água entra no cotovelo e D 2 é o diâmetro da seção transversal por onde a água sai do cotovelo. P 1 é a pressão manométrica linha de corrente central da entrada do cotovelo e P 2 é a pressão manométrica linha de corrente central da saída do cotovelo. V 1 é a velocidade de entrada da água e V 2 é a velocidade de saída da água. z 1 - z 2 é a diferença de altitude entre a entrada e a saída do cotovelo. g é a aceleração da gravidade.

Para encontrar F , precisamos calcular P 2 primeiro. Para fazer isso de forma mais fácil, temos que fazer algumas simplificações. No próximo passo faremos isso.

Passo 2

Para diminuir as contas que a gente precisa fazer podemos fazer algumas simplificações:

  1. Podemos considerar que o escoamento de água está em regime permanente;
  2. Podemos considerar que a água é incompressível ( ρ constante através do escoamento);
  3. Podemos considerar que o escoamento de água é sem atrito e irrotacional (vorticidade vale zero em todo o escoamento).

Fazendo todas essas simplificações, podemos usar a equação de Bernoulli na linha de corrente central do escoamento de para calcular P 2 .

P 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = P 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

onde ρ é a densidade da água. Também precisamos considerar que a densidade da água ρ vale 1000   k g / m 3 . Esse é o valor da densidade da água na pressão atmosférica e na temperatura ambiente!

ρ = 1000   k g / m 3

Podemos calcular V 2 através da fórmula de vazão. No entanto, como consideramos o regime de escoamento permanente, a vazão de água que entra m ˙ 1 tem que ser mais do que a vazão de água que sai m ˙ 2 .

m ˙ 1 = m ˙ 2   ⟹   ρ ⋅ V 1 ⋅ A 1 =   ρ ⋅ V 2 ⋅ A 1 ⟹ ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 1 2 4 = ρ ⋅ V 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

V 2 = V 1 ⋅ D 1 D 2 2

Substituindo isso na fórmula, achamos:

P 2 = P 1 + ρ V 1 2 2 - ρ V 2 2 2 + ρ g z 1 - z 2       ⟹       P 2 = P 1 + ρ V 1 2 2 - ρ V 1 2 2 ⋅ D 1 D 2 4 + ρ g z 1 - z 2

Passo 3

Para calcular as forças F x e F y que são necessárias para manter o cotovelo sem se mover horizontalmente e verticalmente, vamos adaptar a equação 6 - 27 do livro (segunda lei de Newton) para o nosso caso.

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. Esses dois fatores de conversão valem 1,04 segundo o enunciado.

β 1 = β 2 = 1,04

V 1 , x é a velocidade da água no eixo x entrando no cotovelo. V 2 , x é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 é vertical. Por isso, sua componente horizontal V 2 , x vale:

V 2 , x = 0

Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente horizontal é igual à V 1 V 1 , x = V 1 .

Substituindo essas informações na fórmula de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

∑ F x = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 1 2 4 ⋅ β 2 ⋅ 0 - β 2 ⋅ V 1

∑ F x = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4

Já as forças do eixo x são apenas a força que a pressão P 1 exerce sobre a entrada do cotovelo e a força F x . Como as duas tem o mesmo sentido (da esqueda pra direita), a força resultante é igual à força da pressão P 1 mais F x .

∑ F x = P 1 ⋅ A 1 + F x

Substituindo isso na equação anterior de ∑ F x , encontramos:

∑ F x = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4       ⟹       P 1 ⋅ A 1 + F x = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4

F x = - P 1 ⋅ A 1 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4

F x = - P 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4

Passo 4

Para encontrar F y temos que adaptar a equação de ∑ F x .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

onde ∑ F y é o somatório das forças verticais (no eixo y ) sobre o volume de controle.

V 1 , y é a velocidade da água no eixo y entrando no cotovelo. V 2 , y é a velocidade da água no eixo x saindo do cotovelo. A velocidade V 2 é vertical para baixo. Por isso, sua componente vertical vale:

V 2 , y = - V 2       ⟹       V 2 , y = - V 1 ⋅ D 1 D 2 2

Além disso, a velocidade V 1 é horizontal. Logo, sua componente vertical vale zero V 1 , y = 0 .

∑ F y = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , y - β 1 ⋅ V 1 , y

∑ F y = ρ ⋅ V 1 ⋅   π ⋅ D 1 2 4 ⋅ β 2 ⋅ - V 1 ⋅ D 1 D 2 2 - β 1 ⋅ 0

∑ F y = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4

Já as forças do eixo y são a força F y e a da pressão P 2 que a água que sai do cotovelo exerce.

Como as duas têm o mesmo sentido (de baixo pra cima), a força resultante é igual a F y mais a força da pressão P 2 .

∑ F y = F y + P 2 ⋅ A 2       ⟹       ∑ F y = F y + P 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4

Substituindo isso na equação anterior, encontramos:

∑ F y = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4       ⟹       F y + P 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 = - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4

F y = - P 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4

F y = - P 1 + ρ V 1 2 2 - ρ V 1 2 2 ⋅ D 1 D 2 4 + ρ g z 1 - z 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4

Passo 5

Substituindo os dados nas fórmulas de F x e F y somos capazes de encontrar os valores dessas duas componentes da força total F . Antes de usar as fórmulas P 1 300   k P a é covertido para 300000   P a . Além disso, precisamos converter z 1 - z 2 de centímetro c m para metro m .

z 1 - z 2 = 50   c m       ⟹       z 1 - z 2 = 0,50   m

Por último precisamos converter as unidades de D 1 e D 2 de c m para m .

D 1 = 30   c m       ⟹       D 1 = 0,3   m

D 2 = 15   c m       ⟹       D 2 = 0,15   m

F x = - P 1 ⋅ π ⋅ D 1 2 4 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 2 4

F x = - 300000 ⋅ π ⋅ 0,3 2 4 - 1000 ⋅ 1,04 ⋅ 5 2 ⋅   π ⋅ 0,3 2 4

F x = - 23044   N

F y = - P 1 + ρ V 1 2 2 - ρ V 1 2 2 ⋅ D 1 D 2 4 + ρ g z 1 - z 2 ⋅ π ⋅ D 2 2 4 - ρ ⋅ β 2 ⋅ V 1 2 ⋅   π ⋅ D 1 4 D 2 2 ⋅ 4

F y = - 300000 + 1000 ⋅ 5 2 2 - 1000 ⋅ 5 2 2 ⋅ 0,3 0,15 4 + 1000 ⋅ 9,81 ⋅ 0,5 ⋅ π ⋅ 0,15 2 4 - 1000 ⋅ 1,04 ⋅ 5 2 ⋅ π ⋅ 0,3 4 0,15 2 ⋅ 4

F y = - 9426   N

Para calcular F total, fazemos a soma dos quadrados dos componentes e depois aplicamos a raiz quadrada.

F = F x 2 + F y 2       ⟹       F = - 23044 2 + - 9426 2       ⟹       F = 2 4897   N

Resposta

F = 2 4897   N

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