Enunciado

Um jato d’água horizontal com 5   c m de diâmetro e velocidade de 30   m / s atinge uma placa plana que se move na mesma direção do jato à velocidade de 10   m / s . A água se espalha em todas as direções do plano da placa. Quanta força a corrente d’água exerce sobre a placa?

Passo 1

O primeiro passo para resolver essa questão é escolher qual é o volume de controle. Queremos informações sobre a força F do jato sobre a placa, mas nós vamos supor que o volume de controle é a região do espaço que engloba apenas a parte do jato colidindo com a placa. A figura abaixo mostra o volume de controle.

V j a t o é a velocidade do jato de água que atravessa o volume de controle em relação ao chão e V p é a velocidade da placa.

F → é a força que a placa exerce sobre o jato. Pela terceira lei de Newton, essa força F → que a placa exerce sobre o jato é igual em módulo à força de reação F → que o jato exerce sobre a placa. D é o diâmetro do jato.

O volume de controle se movimenta junto com a placa. Por isso, a velocidade do volume de controle é igual à velocidade da placa V p .

Passo 2

Agora que escolhemos o volume de controle, podemos usar a segunda lei de Newton nesse volume de controle. Como a velocidade do jato é constante, o escoamento do volume de controle é considerado como sendo um escoamento em regime permanente.

Como estamos interessados apenas na força horizontal (ao longo do eixo x ), usaremos apenas a equação de quantidade de movimento (segunda lei de Newton) relativa ao eixo x apenas. Além disso, o volume de controle possui apenas uma corrente de fluido entrando horizontalmente nele. Por causa de todos esses fatores, podemos usar a equação 6 - 27 .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

onde ∑ F x é o somatório das forças horizontais (no eixo x ) sobre o volume de controle, m ˙ é a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle. β 1 é o fator de correção para o escoamento que entra no volume de controle. β 2 é o fator de correção para o escoamento que sai do volume de controle. V 1 , x é a velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle móvel no eixo x . V 2 , x é a velocidade relativa da água que colidiu com a placa no eixo x .

Esta é a equação de quantidade de movimento no eixo x (segunda lei de Newton) para um escoamento em regime permanente, com uma corrente entrando e outra saindo. No próximo passo descobriremos quanto vale cada termo dessa fórmula.

Passo 3

Pela figura acima, a força F → parece ser a única força sobre o volume de controle no eixo x . Mas você poderia se perguntar se a força da pressão P do jato e a força da pressão atmosférica P a t m também não contam.

Elas existem, mas a pressão de um jato na atmosfera é muito próxima da pressão atmosférica P = P a t m . Logo, a força da pressão do jato se cancela com a força da pressão atmosférica. Por causa disso, ∑ F x vale:

∑ F x = - F

O sinal de menos está presente na fórmula, porque a força está no sentido negativo de x .

Além disso, os fatores de correção β 1 e β 2 valem 1 para jatos!

β 1 = 1

β 2 = 1

V 1 , x é a componente horizontal da velocidade relativa do jato em relação ao volume de controle. Logo, V 1 , x é a velocidade do jato em relação ao chão V j a t o menos a velocidade do volume de controle em relação ao chão V p .

V 1 , x = V j a t o - V p

V 2 , x é a componente horizontal da velocidade relativa da água que sai do volume de controle. Como a água sai do volume de controle apenas com velocidades verticais, V 2 , x vale zero.

V 2 , x = 0

Por fim, a vazão mássica do jato d’água entrando no volume de controle m ˙ vale:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A

onde ρ é a massa específica da água e A é a área da superfície de controle através da qual o jato passou. Em questões de mecânica dos fluidos, quando o enunciado não informa a densidade ρ da água líquida a na temperatura ambiente, podemos considerar que ela vale:

ρ = 1000   k g m 3

Como o enunciado nos informou o diâmetro D 1 do jato, podemos reescrever a fórmula da vazão acima.

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ A       ⟹         m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ π ⋅ D 2 4

Substituindo a equação de V 1 , x na fórmula de m ˙ encontramos:

m ˙ = ρ ⋅ V 1 , x ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       m ˙ = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ π ⋅ D 2 4

Passo 4

Substituindo todos esses dados na segunda lei, encontramos uma fórmula para a força F .

∑ F x = m ˙ ⋅ β 2 ⋅ V 2 , x - β 1 ⋅ V 1 , x

- F = ρ ⋅ V j a t o - V p ⋅ π ⋅ D 2 4 ⋅ 1 ⋅ 0 - 1 ⋅ V j a t o - V p

F =   ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ π ⋅ D 2 4

Passo 5

Substituindo os dados na fórmula acima, encontramos o valor de F .

Antes de fazer isso, precisamos converter o diâmetro D do jato de centímetro c m para metro m .

D = 5   c m       ⟹       D = 0,05   m

F =   ρ ⋅ V j a t o - V p 2 ⋅ π ⋅ D 2 4       ⟹       F =   1000 ⋅ 30 - 10 2 ⋅ π ⋅ 0,05 2 4

F = 785   N

Resposta

F = 785   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o Problema 4.141, considerando o bloco/pá deslizando sobre uma película de óleo em vez de estar em contato direto com a superfície. Admita que a resistência ao movimento seja proporcional à ve
Um bloco retangular de massa m , com faces verticais, sobre uma superfície horizontal entre dois jatos opostos, conforme mostrado. Em t = 0 , O bloco é posto em movimento com velocidade u 0 . Em segui
Um bloco retangular de massa m , com faces verticais, rola sem resistência ao longo de um plano horizontal liso, conforme mostrado. O bloco viaja, inicialmente, à velocidade u 0 . Em t = 0 , ele é ati
Um jato vertical de água atinge um disco horizontal conforme mostrado. O peso do disco é igual a 30k g . No instante em que o disco encontra-se a 3m acima da saída do bocal, o seu movimento é para cim
Considere o enunciado e o diagrama do Problema 4.155. Considere que em t = 0 , quando o bloco de mass m = 5k g está em x = 0 , ele seja posto em movimento para a direita com velocidade u = 10m / s . O