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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 140

A catapulta hidráulica do Problema 4,138 é acelerada por um jato de água que atinge sua pá curva e se move ao longo de uma pista horizontal com resistência desprezível. Em um dado instante, sua velocidade é u . Calcule o tempo requerido para acelerar o carrinho do repouso até u = v / 2 .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e nem resistência superficial, então, F B x = F S x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- a x ⋅ m = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- a x ⋅ m = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - v - u ⋅ s e n   θ .

Então:

- a x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ v - u A + - v - u ⋅ s e n   θ ⋅ ρ v - u A

a x = 1 m [ ρ A ⋅ v - u 2 ⋅ 1 + s e n   θ ]

Passo 4

Temos que:

∫ d u d t = a x

Então:

∫ 0 v 2 d u d t = ∫ 0 t 1 m [ ρ A ⋅ v - u 2 ⋅ 1 + s e n   θ ]

- ∫ 0 v 2 d v - u v - u 2 = ∫ 0 t ρ A ⋅ 1 + s e n   θ m d t

Integrando e aplicando os limites laterais, temos:

1 v = ρ A ⋅ 1 + s e n   θ m ⋅ t

Passo 5

Para resolvermos a equação obtida, temos que pegar informações do Problema 4.138:

v = 30   m / s ;

m = 15   k g ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

θ = 30 ° ;

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,025 2 4 = 4,91 x 10 - 4   m 2 .

Assim:

1 30 = 1000 ⋅ ( 4,91 x 10 - 4 ) ⋅ 1 + s e n   30 ° 15 ⋅ t

t = 0,679   s

Resposta

t = 0,679   s

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