Aletas planas triangulares e parabólicas estão submetidas às mesmas condições térmicas que a aleta plana retangular do Problema 3.134.

  1. Determine o comprimento de uma aleta triangular, de largura unitária, e espessura da base t = 3 mm, que fornecerá a mesma taxa de transferência de calor que a aleta plana retangular. Determine a razão entre as massas da aleta triangular e da aleta retangular.
  2. Repita a parte (a) para a aleta parabólica.

Passo 1

Vamos seguir galerinhaaa !!

Preparados ??

Vamos dar uma olhada mais de perto nas expressões para cada uma delas:

Nós precisamos achar o comprimento de uma aleta triangular que fornecerá a mesma taxa de transferência de calor que a aleta plana retangular e determina a razão entre as massas da aleta triangular e da aleta retangular.

Vamos começar pela aleta retangular, ok? A eficiência pode ser calculada como:

η R = tanh ⁡ m L C m L C

Se:

L C = L + t 2

m = h P k A p = h 2 L + 2 t k t L

Como L ≫ t :

m = h 2 L k t L = 2 h k t

Sabendo do problema anterior que:

k   =   185 W m K

h   =   50 W m 2 K

t = 3   m m = 0,003   m

L = 15   m m = 0,015   m

T b = 100 ° C

T ∞ = 20 ° C

Então:

m = 2 50 W m 2 K   185 W m K 0,003   m = 13,4   m - 1

L C = 0,015   m + 0,003   m 2 = 0,0165   m

Na fórmula:

η R = tanh ⁡ ( 13,4   m - 1 × 0,0165   m ) ( 13,4   m - 1 × 0,0165   m ) = 0,982

O calor pode ser calculado em função da eficiência:

q ' a = η a h A f θ b

Como:

A f = 2 w L C

θ b = T b - T ∞

Considerando a largura unitária:

q ' R = 2 η a h L c T b - T ∞

Substituindo:

q ' R = 2 0,982 50 W m 2 K 0,0165   m 100 - 20 K

q ' R = 129,6 W m

Achamos a transferência de calor da aleta retangular, ok?

Então:

q ' R = q ' T = η T h A f T b - T ∞

Passo 2

Para a aleta triangular, a eficiência pode ser calculada usando a fórmula dada:

η T = 1 m L T . I 1 2 m L T I 0 2 m L T = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

Na fórmula do Passo 1:

η T = q ' T h A f T b - T ∞

Enquanto:

A f = 2 w L T 2 + t 2 4 1 2

Igualando as duas e substituindo:

η T = 129,6 2 L T 2 + 0,003   m 2 4 1 2 50 W m 2 K 100 - 20 K = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

0,016 L T 2 + 2,25 × 10 - 6 = 1 13,4   m - 1 L T . I 1 2 13,4   m - 1 L T I 0 2 13,4   m - 1 L T

Quando nós olhamos as funções de Bessel na Tabela B.5 no Apêndice B nós podemos achar o comprimento desta aleta:

L T = 0,0166   m

Mas não acabamos né?

Queremos a razão entre as massas:

M T M R = ρ A p ,   T ρ A p ,   R = t 2 L T t L = L T 2 L

Substituindo:

M T M R = 0,0166   m 2 0,015   m = 0,553

Passo 3

E o último perfil é a aleta parabólica, pedida na letra (b)!

Sabendo que:

q ' R = q ' P = η P h A f T b - T ∞

Para este perfil de aleta nós temos que:

η P = 2 4 m L P 2 + 1 1 2

Na fórmula do Passo 1:

η P = q ' T h A f T b - T ∞

Igualando as duas:

2 4 m L P 2 + 1 1 2 = q ' T h A f T b - T ∞

Substituindo o que já temos:

2 4 13,4 L P 2 + 1 1 2 = 129,6 A f 50 W m 2 K 100 - 20 K

A f = 0,0162 718,24 L P 2 + 1 1 2

Enquanto:

A f = C 1 L P + L P 2 t ln ⁡ t L P + C 1 = C 1 L P + L P 2 0,003   m ln ⁡ 0,003   m L P + C 1

Onde:

C 1 = 1 + t L P 2 1 2 = 1 +   0,003   m L P

Então:

A f = L P 1 +   0,003   m L P + L P 2 0,003   m . ln ⁡ 0,003   m L P + 1 +   0,003   m L P

Igualando A f na equação anterior:

L P 1 +   0,003   m L P + L P 2 0,003   m . ln ⁡ 0,003   m L P + 1 +   0,003   m L P = 0,0162 718,24 L P 2 + 1 1 2

Resolvendo a equação:

L P = 0,0169   m

Mas não acabamos né?

Queremos a razão entre as massas:

M P M R = ρ A p ,   P ρ A p ,   R = t 3 L P t L = L P 3 L

Substituindo:

M P M R = 0,016 9   m 2 0,015   m = 0 , 376

E finalizamos mais umaa !!

Resposta

  1. L T = 0,0166   m     |   M T M R = 0,55 3 ;
  2. L p = 0,016 9   m     |   M P M R = 0 , 376 .
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