Analise e discuta dois casos limites do Problema .

(a) O espaçamento é muito pequeno. Mostre que o perfil de velocidade se aproxima de uma função linear da parede do cilindro externo até a parede do cilindro interno. Em outras palavras, para um espaçamento muito pequeno o perfil de velocidade se reduz àquele de um escoamento Couette simples bidimensional.

(b) O raio do cilindro externo se torna infinito enquanto o raio do cilindro interno se torna muito pequeno. Isso é uma aproximação de que tipo de escoamento?

Para começar, vamos dar um zoom na figura e adicionar o nosso eixo de coordenadas:

Espera...isso lembra alguma coisa?

Exatamente!!! Nesta condição limite o que acontece é que o espaço entre os cilindros é tão pequeno que podemos desprezar o efeito da curvatura e aproximar nosso problema para um escoamento Couette entre duas placas planas. Tudo bem até aqui?

Vamos agora partir para a determinação do perfil de velocidade. Para isso, começamos com a equação da continuidade para coordenadas cartesianas:

Assumindo que estamos na condição de regime permanente e que as velocidades nas direções e são nulas:

Então, nossa equação se reduz à:

Ou seja, a velocidade não depende de . O que é equivalente dizer que:

Nosso próximo passo para obter o perfil de velocidade será aplicar a equação de Navier-Stokes. Vamos lá?

Como o fluido só está escoando na direção vamos aplicar a equação de Navier-Stokes para a componente . Ela é dada por:

Como estamos em um processo estacionário, e são nulas e , os termos do lado esquerdo da equação são:

Ou seja,

Vamos agora olhar para o lado direito da equação. O fluido escoa apenas devido à movimentação da placa (cilindro) superior, sem sofrer ação de um diferencial de pressão ou da força gravitacional. Então:

Além disso, vimos pela equação da continuidade que , ou seja,

Nossa equação se reduz à:

Se a segunda derivada de em relação à é zero, isso implica que:

Em que é uma constante. Integrando em relação à :

Já podemos ver que o perfil de velocidade é uma função linear, assim como foi dito no enunciado. Mas, para finalizar vamos aplicar as condições de contorno para a velocidade para obter e . As condições de contorno são:

Sendo que é o espaçamento entre os cilindros.

Aplicando estas condições ficamos com:

Substituindo as constantes no perfil:

Vamos agora para o item (b). Neste item, o que acontece é que agora o cilindro externo é muito maior que o interno, ou seja, o espaçamento tende a infinito. Vamos ver o que acontece nesse caso:

Neste caso, o cilindro externo está tão afastado que podemos desprezar seu efeito no perfil de escoamento. Nesta situação limite o cilindro interno é a única geometria relevante para a deformação do fluido, de forma que podemos considerar que o fluido apenas escoa na superfície exterior de um cilindro, ao invés de estar em um espaço anular.

Este tipo de aproximação chamamos de escoamento externo. A principal diferença entre esta situação e as propostas no item (a) e no Problema é que, apesar de haver dissipação de energia até que a velocidade do fluido atinja , isto ocorrerá devido ao atrito entre as camadas de fluido e não mais pela presença da segunda geometria (, pelo princípio da aderência).