Para cada afirmação, decida se é verdadeira ou falsa e discuta rapidamente sua resposta. Para cada afirmação considere as condições de contorno apropriadas e as propriedades do fluido conhecidas.

(a) Um problema geral de escoamento incompressível com propriedades constantes do fluido tem quatro incógnitas.

(b) Um problema geral de escoamento compressível tem cinco incógnitas.

(c) Para um problema de mecânica de fluidos incompressível, a equação da continuidade e a equação de Cauchy fornecem equações suficientes para igualar o número de incógnitas.

(d) Para um problema incompressível de mecânica de fluidos envolvendo um fluido newtoniano com propriedades constantes, a equação da continuidade e a equação de Navier-Stokes proporcionam equações em número suficiente para igualar o número de incógnitas.

Vamos agora para a afirmação (b). O escoamento compressível tem cinco incógnitas?

Retomando o que vimos na afirmação (a), em um escoamento incompressível tínhamos como incógnitas as três componentes de velocidade e a pressão.

Para o escoamento compressível faz sentido que também tenhamos pelo menos essas quatro incógnitas. Certo?

Além dessas quatro, como o escoamento é compressível, isto implica que a densidade do fluido não é constante ao longo do processo. Então, a densidade será a quinta incógnita do problema e, a afirmação é verdadeira.

A próxima afirmação é a seguinte: para um problema de escoamento incompressível, a equação de Cauchy e da continuidade são suficientes para igualar o número de incógnitas.

Para responder essa questão vamos começar retomando o que vimos no item (a). Em um escoamento incompressível temos quatro incógnitas: as três componentes de velocidade e a pressão. Então, para a afirmação ser verdadeira precisamos de quatro equações. Tudo bem?

Se pararmos pra pensar isto ocorre, já que teremos as três componentes da equação de Cauchy e a equação da continuidade. Porém, na prática não é bem isso que acontece já que a equação de Cauchy é expressa como:

Que é função do tensor de tensões. Como o tensor de tensões é função das incógnitas (pressão e velocidade) não podemos simplesmente aplicar a equação de Cauchy diretamente, sendo necessário equações adicionais para expressar o tensor de tensões.

Por essa razão, a afirmação é falsa.

Por fim, a afirmação (d). Podemos ver que ela é bem similar à afirmação (c), sendo que desta vez a equação de Navier-Stokes e a equação de continuidade são suficientes para igualar o número de incógnitas de um problema de escoamento incompressível de um fluido newtoniano.

Como comentamos no item (c), a equação de Cauchy não era suficiente porque precisávamos expressar o tensor de tensões em função das incógnitas, pressão e componentes de velocidade. Certo?

A equação de Navier-Stokes é justamente isso. Ela é derivada da equação de Cauchy, aplicando as condições de fluido newtoniano e escoamento incompressível. Então, assim como vimos também no item (a), as três componentes da equação de Navier-Stokes somada à equação da continuidade fornecem um conjunto de quatro equações que é suficiente para igualar as quatro incógnitas dete tipo de problema.

Assim, a afirmação é verdadeira.