Um arranjo de tubos concêntricos, para o qual os diâmetros interno e externo são 80   m m e 100   m m , respectivamente, é usado para remover calor de uma reação bioquímica ocorrendo em um tanque de repouso com 1   m de comprimento. Calor é gerado uniformemente no interior do tanque a uma taxa de 105   W / m 2 e uma vazão de 0,2   k g / s de água passa pela região anular.

(a) Determine a temperatura de entrada da água vinda do suprimento que irá manter uma temperatura da superfície do tanque média de 37 ° C . Suponha o escoamento e as condições térmicas plenamente desenvolvidas. Esta hipótese é razoável?

(b) Deseja-se ter um leve gradiente axial de temperatura na superfície do tanque, pois a taxa da reação bioquímica é altamente dependente da temperatura. Esboce a variação axial das temperaturas da água e da superfície no sentido do escoamento para os dois casos a seguir: ( i ) as condições plenamente desenvolvidas da parte ( a ) , e ( i i ) condições nas quais os efeitos de entrada são importantes. Comente sobre as características das distribuições de temperaturas. Qual mudança no sistema ou nas condições operacionais você faria para reduzir o gradiente da temperatura superficial?

Passo 1

Vamos lá! Nosso problema pede a análise das propriedades do tanque, mas antes vamos fazer um esboço do nosso problema para facilitar nossa vida.

Agora precisamos fazer nossas famosas considerações. Hehe (u.u)

I - E s c o a m e n t o   e   c o n d i ç õ e s   t e r m i c a s   t o t a l m e t e   d e s e n v o l v i d a s

I I - O   c i l i n d r o   i n t e r n o   t e m   f l u x o   d e   c a l o r   c o n s t a n t e

I I I - P r o p r i e d a d e s   c o n s t a n t e s

I V - f l u í d o   i n c o m p r e s s í v e l   c o m   d i s s i p a ç ã o   v i s c o s a   d e s p r e z í v e l

Passo 2

(a)

Vamos lá, vamos usar os dados da tabela A - 6 para a água, fazendo o balanço de energia temos que o balanço de energia por dois tubos concêntricos é:

m ˙ c p T m , i n t - T m ,     e x t = q                       I

Do balanço de energia do tanque de reação temos:

q = q ˙ V = 1 ⋅ 10 5   W m 3 ⋅ π D i n t 2 4 ⋅ 1 m = 503   W                             I I

D i n t é o diâmetro do tanque de reação, a equação de convecção aplicada a superfície interior é dada por:

q = h - i n t A s ,   i n t T - s - T - m = h - i n t π D i n t L T - s - T - m                   I I I

Onde T - m é a temperatura média da superfície interior, dada por:

T - m = T m , i n t + T m ,     e x t 2                     I V

Agora precisamos deixar explícito o comportamento do fluxo para podermos caracterizar nosso coeficiente convectivo, analisando o comportamento do escoamento temos:

R e h = u m ⋅ D h v

D h = D e x t - D i n t

m ˙ = ρ A c u m

Onde A c = π D e x t 2 - D i n t 4 4 , substituindo tudo temos:

R e h = 4 ⋅ m ˙ ⋅ D e x t - D i n t ρ ⋅ v ⋅ π D e x t 2 - D i n t 4

Substituindo pelos valores numéricos temos:

R e h = 1779

Passo 3

Como o número de Reynolds está abaixo do valor critico nosso escoamento é laminar, assim da tabela 8.3 e da equação 8.72 com D i n t / D e x t   = 0,8 .

N u i n t - = h i n t - ⋅ D h k

N u i n t - = 5,58

Assim usando os dados da tabela A - 6 , da equação I I I :

h i n t - = 172   W m 2 ⋅ K

q = h - i n t π D i n t L T - s - T - m

503   W = 172   W m 2 ⋅ K π ⋅ 0,08 m ⋅ 1 m ⋅ 37   ° C - T - m

T - m = 25,4   ° C

Fazendo o mesmo para as equações I e I V   temos.

T m , i n t = 25,1   ° C

T m , e x t = 25 , 7   ° C

Assim finalmente temos para que o anel interno, o efeito de comprimento da entrada térmica é dado por:

x f d ,   t = D h ⋅ 0,05   R e D h ⋅ P r

x f d ,   t = 0,1 - 0,08 m ⋅ 0,05 ⋅ 1779 ⋅ 5,39 = 9,59   m

Como o comprimento do cano L = 1   m , como x f d ,   t = 9,59   m que os efeitos de entrada são significantes! Assim a consideração de escoamento totalmente desenvolvido é aproximada.

Passo 4

(b)

Vamos lá, como a água está passando pela tubulação e sofrendo aquecimento constante então o aumento da temperatura será linear levando em conta a condição de escoamento perfeitamente desenvolvido.

Já se considerarmos o efeito de comprimento da entrada, o coeficiente convectivo da entrada vai ser maior o que aumenta o efeito da convecção fazendo com que a diferença da temperatura entre o fluido e a superfície reduza com maior facilidade, assim os gráficos de temperatura vão ficar assim:

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

(a) T m , i n t = 25,1   ° C , T m , e x t = 25,7   ° C

(b) Gráfico vide passo-a-passo.

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