Avalie o fluxo líquido de quantidade de movimento através do canal do Problema 4.38, se a profundidade normal ao diagrama for w = 1   m .

Passo 1

Considerações:

  1. Escoamento estacionário;
  2. Fluído incompressível;
  3. Escoamento uniforme.

Passo 2

Analisaremos a superfície de controle do sistema para calcularmos V 1 m á x :

∫ S C ρ V d A = 0

∫ 0 h 1 - V 1 w d y + V 2 w h 2 + V 3 w h 3 = 0

∫ 0 h 1 V 1 w d y = V 2 w h 2 + V 3 w h 3

∫ 0 h 1 V 1 d y = V 2 h 2 + V 3 h 3

Sendo V 1 = V 1 m á x ⋅ y h 1 :

V 1 m á x ∫ 0 h 1 y h 1 d y = V 2 h 2 + V 3 h 3

Integrando, temos:

V 1 m á x ⋅ h 1 2 = V 2 h 2 + V 3 h 3

V 1 m á x = 2 h 1 ⋅ ( V 2 h 2 + V 3 h 3 )

Utilizando os dados do Problema 4.38, temos:

V 1 m á x = 2 0,5 ⋅ 1 ⋅ 0,2 + 5 ⋅ 0,15 = 3,8   m / s

Passo 3

Analisando o fluxo em x , temos:

m ⋅ f x = ∫ S C u ρ V d A

m ⋅ f x = ∫ 0 h 1 - V 1 ρ V 1 w d y + V 3 ⋅ cos ⁡ θ ρ V 3 h 3 w

m ⋅ f x = ∫ 0 h 1 - V 1 2 ρ w d y + V 3 2 ρ h 3 w ⋅ cos ⁡ θ

Sendo V 1 = V 1 m á x ⋅ y h 1 :

m ⋅ f x = ∫ 0 h 1 - V 1 m á x 2 ⋅ y h 1 2 ρ w d y + V 3 2 ρ h 3 w ⋅ cos ⁡ θ

Integrando, temos:

m ⋅ f x = - V 1 m á x 2 ⋅ ρ w h 1 3 + V 3 2 ρ h 3 w ⋅ cos ⁡ θ

m ⋅ f x = ρ w - V 1 m á x 2 ⋅ h 1 3 + V 3 2 h 3 ⋅ cos ⁡ θ

Utilizando os dados do Problema 4.38 e com ρ = 1000   k g / m 3 , temos:

m ⋅ f x = 1000 ⋅ 1 ⋅ - 3,8 2 ⋅ 0,5 3 + 5 2 ⋅ 0,15 ⋅ cos ⁡ 30 ° = 841   N

Passo 4

Analisando o fluxo em y , temos:

m ⋅ f y = ∫ S C v ρ V d A

m ⋅ f y = - V 2 ρ V 2 h 2 w - V 3 ⋅ sen ⁡ θ ρ V 3 h 3 w

m ⋅ f y = ρ w ( - V 2 2 h 2 w - V 3 2 h 3 ⋅ sen ⁡ θ )

Utilizando os dados do Problema 4.38 e com ρ = 1000   k g / m 3 , temos:

m ⋅ f y = 1000 ⋅ 1 ⋅ - 1 2 ⋅ 0,2 - 5 2 ⋅ 0,15 ⋅ sen ⁡ 30 ° = - 2075   N

Resposta

m ⋅ f x = 841   N

m ⋅ f y = - 2075   N

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