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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 130

Um barco a jato capta água através de aberturas laterais e a ejeta por meio de um bocal de diâmetro D   ∞   75   m m ; a velocidade do jato é V j . O arrasto sobre o barco é dado por F a r r a s t o = k V 2 , em que V é a velocidade do barco. Encontre uma expressão para a velocidade em regime permanente, V , em função da massa específica da água ρ , da vazão volumétrica através do sistema Q , da constante k e da velocidade V j . Uma velocidade do jato V j = 15   m / s produz uma velocidade do barco V = 10   m / s .

a) Nestas condições, qual é a vazão Q ?

b) Encontre o valor da constante k .

c) Que velocidade V será produzida se a velocidade do jato aumentar para V j = 25   m / s ?

d) Qual será a nova vazão?

Passo 1

Letra a)

Temos que a vazão é dada por: Q = A V j = π D 2 4 ⋅ V j = π ⋅ 0,075 2 4 ⋅ 15 = 0,0663 m 3 s

Passo 2

Letra b)

Considerações:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento uniforme.

Pelas considerações feitas, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ρ V   d A = 0

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Como estamos analisando um sistema em x , temos:

F = ∫ S C V ρ V   d A

Assim:

F = V - ρ Q + V j ( ρ Q )

k V 2 = V - ρ Q + V j ρ Q

k V 2 - V j ρ Q + V ρ Q = 0

Aqui, ajeitaremos a equação do 2° grau obtida na fórmula de Bhaskará:

V = - ρ Q + ρ Q 2 + 4 k V j ρ Q 2 k

V = - ρ Q 2 k + ρ Q 2 k 2 + 4 k V j ρ Q 4 k 2

Fazendo:

α = ρ Q 2 k

Temos:

V = - α + α 2 + V j ρ Q k

V + α 2 = α 2 + V j ρ Q k

V 2 + 2 V α + α 2 = α 2 + 2 α V j

V 2 + 2 V α = 2 a V j

α = V 2 2 V j - V

Assim:

α = 10 2 2 15 - 10 = 10

Como:

α = 10 = ρ Q 2 k

k = 1000 ⋅ 0,0663 2 ⋅ 10 = 3,315 N ⋅ s 2 m 2

Passo 3

Letra c)

Temos que:

V = - ρ Q 2 k + ρ Q 2 k 2 + 4 k V j ρ Q 4 k 2

Substituindo os valores:

V = - 1000 ⋅ π ⋅ 0,075 2 4 ⋅ 2 5 2 ⋅ 3,315 + 1000 ⋅ π ⋅ 0,075 2 4 ⋅ 25 2 ⋅ 3,315 2 + 4 ⋅ 3,315 25 ⋅ 1000 ⋅ π ⋅ 0,075 2 4 ⋅ 25 4 ⋅ 3,315 2

V = - 16,659 + 277,51 + 832,93 = 16,664 m s

Passo 4

Letra d)

Temos que a vazão é dada por: Q = A V j = π D 2 4 ⋅ V j

Sendo V j = 25   m / s , temos:

π ⋅ 0,075 2 4 ⋅ 2 5 = 0 , 1104 m 3 s

Resposta

a) 0,0663 m 3 s ;

b) 3,315 N ⋅ s 2 m 2 ;

c) 16,664 m s ;

d) 0,1104 m 3 s .

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