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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 138

Um jato contínuo de água é empregado para propelir um carrinho ao longo de uma pista horizontal, conforme mostrado. A resistência total ao movimento do carrinho é dada por F D = k u 2 , com k = 0,92   N ⋅ s 2 / m 2 . Avalie a aceleração do carrinho no instante que a sua velocidade é u = 10   m / s .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Resistência contrária ao carrinho em x , com F S x = - F D = - k u 2

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - a ⋅ m = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Sendo que:

F S x = - F D

Então:

- F D - a ⋅ m = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F D - a ⋅ m = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- F D - a ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Aqui, u 1 indica a velocidade relativa do fluxo de entrada, já u 2 , a velocidade relativa do fluxo de saída para as mesmas condições.

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = - v - u ⋅ s e n   θ .

Então:

- k u 2 - a ⋅ m = v - u ⋅ - ρ v - u A + - v - u ⋅ s e n   θ ⋅ ρ v - u A

a = 1 m [ ρ A ⋅ v - u 2 ⋅ 1 + s e n   θ - k u 2 ]

Passo 4

Sendo:

v = 30   m / s ;

u = 10   m / s ;

k = 0,92   N ⋅ s 2 / m 2 ;

m = 15   k g ;

θ = 30 ° ;

A = π D 2 4 = π ⋅ 0,025 2 4 = 4,91 x 10 - 4   m 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 .

Substituindo, temos:

a = 1 15 [ 1000 ⋅ ( 4,91 x 10 - 4 ) ⋅ 30 - 10 2 ⋅ 1 + s e n   30 - 0,92 ⋅ 10 2 ]

a = 13,5   m / s 2

Resposta

a = 13,5   m / s

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