Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 121
A barra uniforme da Figura P2.121, de tamanho por por e com o peso específico , flutua exatamente em sua diagonal quando uma esfera uniforme pesada é presa ao canto esquerdo, como mostra a figura. Mostre que isso pode acontecer somente (a) quando e (b) quando a esfera tem o tamanho
Passo 1
Fala Galera!!
Nessa questão, nos foi dito que em uma barra uniforme de tamanho por por , temos que . Foi dito também que uma esfera pesada uniforme está amarrada ao canto esquerdo, e faz com que a barra flutue exatamente em sua diagonal. A barra tem peso específico e o peso específico do líquido é .
Passo 2
(a) Queremos mostrar que está condição só é possível quando .
Para isso, podemos dizer que o peso da barra pode ser dado por
E ele atua no seu centro de massa, a tendo como referência o canto esquerdo. A parte da barra que está submersa forma um triângulo perfeito, ou seja, é a metade do volume da barra, assim, o fluido que é deslocada é igual a
Onde o centro de empuxo irá atuar a tendo como referência o canto esquerdo.
Passo 3
Segue comigo que estamos quase lá!!
Sabendo disso, é só a gente somar os momentos sobre o canto esquerdo (no ponto ). Temos então que:
A barra ficará estável e flutuando quando a soma dos momentos for nula. Assim, podemos dizer o seguinte:
Com isso, provamos o que foi pedido.
Passo 4
(b) Agora, queremos mostrar só ocorrerá quando a esfera tem o tamanho
Para isso, a gente pode começar encontrando a tensão necessária da corda no canto esquerdo a partir da soma as forças verticais. Temos o seguinte:
Da mesma forma que fizemos na letra (a), esse somatório também tem que dar zero.
Do resultado que encontramos anteriormente, podemos dizer o seguinte:
Passo 5
Aqui, é importante saber que a tensão necessária também pode ser dada pela seguinte expressão:
Substituindo o que encontramos no passo 4, temos o seguinte:
Com isso, provamos o que foi pedido.
Resposta
(a)
(b)