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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 135

Considere um cilindro circular reto homogêneo de comprimento L , raio R e densidade d , flutuando em água ( d = 1 ) . Mostre que o corpo será estável com seu eixo vertical se

R L > 2 d 1 - d 1 / 2

Passo 1

Fala galera, vem comigo resolver essa questão!!

Queremos aqui provar a relação de R / L em função de d , que foi fornecida no enunciado. Em que d é a densidade relativa do cilindro. Para isso, podemos começar usando a ideia de que as forças que atuam verticalmente o mantém em equilíbrio, ou seja, a soma das forças é igual a zero. Assim temos:

γ á g u a V d e s l o c a d o = γ c i l i n d r o V c i l i n d r o

γ á g u a V d e s l o c a d o = d γ á g u a V c i l i n d r o

V d e s l o c a d o = d V c i l i n d r o

π R 2 h = d π R 2 L

h = d L

Passo 2

Para encontrarmos o que estamos procurando, podemos usar a formula 2.37:

I O v s u b m e r s o = M G - + G E -

M G - = I O v s u b m e r s o - G E -

Em que G é o centróide, M é o metacentro, E é o centro de flutuabilidade, I O é o momento de inércia e v s u b m e r s o é o volume submerso. Para um cilindro o momento de inercia é dado por:

I O = π 4 R 4

O volume submerso para essa questão é:

v s u b m e r s o = π R 2 h = π R 2 d L

Para a estabilidade de massa, temos que:

M G - < 0

O centro de gravidade está em L / 2 acima do fundo e E está em h / 2 acima do fundo. Para essa questão a distancia G E - é dada por:

G E - = L 2 - h 2 = L 2 - d L 2 = L 1 - d 2

Passo 3

Agora que temos todos os dados, vamos substituir na equação 2.37.

M G - = I O v s u b m e r s o - G E -

π 4 R 4 π R 2 d L - L 1 - d 2 > 0

R 2 4 d L > L 1 - d 2

R 2 L 2 > 2 d 1 - d

R L > 2 d 1 - d 1 / 2

Com isso, provamos o que foi pedido.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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