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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 34

Com uma boa aproximação, a condutividade térmica k de um gás depende apenas da massa específica ρ , do livre caminho médio l , da constante R do gás e da temperatura absoluta T. Para o ar a 20°C e 1 atm, k ≈ 0,026   W / ( m . K ) e l ≈ 6,5 e - 8   m . Use essas informações para determinar o valor de k para o hidrogênio a 20°C e 1 atm se l ≈ 1,2 e - 7   m .

Passo 1

Vamos para mais um desafio de análise adimensional!!!

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

k = f ( ρ ,   l ,   R ,   T )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

k = M L Θ - 1 T - 3

ρ = M L - 3

l = L

R = L 2 T - 2 Θ - 1

T = Θ

Como temos 5 variáveis (n), e temos 4 dimensões bases (MLT Θ ), tem-se que o número de grupos pi iguais a 5 – 4 = 1 grupo!

Passo 2

Bem, podemos então escrever esse grupo pi!

Π 1 = ρ a l b R c T d k

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = ρ a l b R c T d k

M L - 3 a L b L 2 T - 2 Θ - 1 c Θ d M L Θ - 1 T - 3 = M 0 L 0 T 0

M : a + 1 = 0 → a = - 1

L : - 3 a + b + 2 c + 1 = 0

T : - 2 c - 3 = 0 → c = - 3 / 2

Θ : - c + d - 1 = 0 → 3 2 - 1 + d = 0 → d = - 1 / 2

b = 1

Portanto,

Π 1 = k ρ R 3 2 T 1 2 l

Passo 4

Com os dados do ar, conseguimos encontrar qual deve ser o valor do grupo pi encontrado, se liga!! Os dados a mais do ar que precisamos são os valores de densidade e R na temperatura dada que são, ρ = 1,205   k g / m ³ e R = 287   m 2 / s 2 K

Π 1 = 0,026 1,205 287 3 2 293 6,5   x   10 - 8 = 3,99    

Bem, a gente sabe que por similaridade então o hidrogênio deve ter o mesmo valor de grupo Π 1 e assim encontramos o seu valor de k!!

Para o hidrogênio temos na temperatura de 20°C que sua densidade (Kg/m³) e o valor de R(m²/s²K) são respectivamente 0,0839 e 4124!!

Π 1 = k h i d r o 0,0839 4124 3 2 293 1 2 1,2   x   10 - 7 = 3,99 → k h i d r o = 0,182 W m . K

Resposta

k = 0,182 W m . K

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