Um bocal é um dispositivo para medir a vazão em um tubo. Este bocal específico deve ser usado para medir um escoamento de ar com baixa velocidade para o qual a compressibilidade pode ser desprezada. Durante a operação, as pressões p 1 e p 2 são registradas, bem como a temperatura a montante T 1 . Determine a vazão mássica em função de Δ p = p 2 - p 1 e T 1 , a constante do gás para o ar, e os diâmetros do dispositivo, D 1 e D 2 . Considere o escoamento sem atrito. O escoamento real será maior ou menor do que o escoamento predito? Por quê?

Passo 1

Vamos começar esse exercício aplicando o princípio da continuidade, como temos regime permanente e escoamento uniforme, tudo o que entra tem que sair, dessa forma, as vazões são iguais nos pontos de entrada (1) e saída (2), de forma que podemos escrever:

Q 1 = Q 2 → v 1 A 1 = v 2 A 2 → v 1 π D 1 2 4 = v 2 π D 2 2 4 → v 1 = v 2 D 2 D 1 2

Agora vamos aplicar a equação de Bernoulli entre a entrada (1) e a saída (2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse exercício podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 . Substituindo os valores conhecidos, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 = p 2 ρ + v 2 2 2

Substituindo a relação encontrada para v 1 , temos:

p 1 ρ + v 2 D 2 D 1 2 2 2 = p 2 ρ + v 2 2 2 → p 1 ρ + v 2 2 2 D 2 D 1 4 = p 2 ρ + v 2 2 2

Agora vamos isolar v 2 :

p 1 - p 2 ρ = v 2 2 2 - v 2 2 2 D 2 D 1 4 → p 1 - p 2 ρ = v 2 2 2 1 - D 2 D 1 4

v 2 = 2 p 1 - p 2 ρ 1 - D 2 D 1 4 → v 2 = 2 Δ p ρ 1 - D 2 D 1 4

Passo 2

No entanto, nós sabemos que a vazão mássica do sistema é dada por:

m ˙ = ρ v 2 A 2

Substituindo a relação encontrada para v 2 no passo 1, temos:

m ˙ = ρ π D 2 2 4 2 Δ p ρ 1 - D 2 D 1 4 → m ˙ = π D 2 2 4 2 Δ p ρ 1 - D 2 D 1 4

Nós sabemos também que a densidade de um fluido pode ser escrita como:

ρ = p R T

Então, conhecendo as propriedades em (1), temos:

ρ = p 1 R T 1

Substituindo essa relação na equação para a vazão mássica, obtemos a relação em função dos parâmetros pedidos no enunciado:

m ˙ = π D 2 2 4 2 Δ p p 1 R T 1 1 - D 2 D 1 4 → m ˙ = π D 2 2 4 2 Δ p p 1 R T 1 1 - D 2 D 1 4

Passo 3

Para uma situação real, teremos uma vazão mássica menor, porque temos perdas no dispositivo devido ao atrito e a turbulência gerada

Resposta

m ˙ = π D 2 2 4 2 Δ p p 1 R T 1 1 - D 2 D 1 4

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