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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 20

Uma bola de beisebol, com m = 145   g , é lançada diretamente para cima a partir de sua posição inicial z = 0 e V 0 = 45   m / s . O arrasto do ar sobre a bola é C V 2 , em que C = 0,0013   N · s 2 / m 2 . Encontre uma equação diferencial para o movimento da bola e resolva-a para a velocidade instantânea V ( t ) e a posição z ( t ) . Encontre a altura máxima z m á x alcançada pela bola e compare o seu resultado com o caso clássico do arrasto do ar igual a zero.

Passo 1

Primeiro vamos fazer um esquema da nossa questão para ilustrar nosso problema:

Nossa questão nos pede uma equação para a velocidade V t e para a posição z t , também a altura máxima a ser atingida pela bola!

Passo 2

Vamos começar fazendo um somatório de forças pra facilitar nossa questão!

Temos atuando sobre nossa bola, a força da gravidade e a força de arrasto, então:

Σ F z = - m ⋅ a z   ( a   a c e l e r a ç ã o   e s t á   d e s a c e l e r a n d o   a   b o l a ! )

- C V 2 - m g = m ⋅ d V d t

Organizando essa continha!

- d V C V 2 m + g = d t

Agora vamos integrar essa belezinha. Haha

- ∫ V 0 V d V C V 2 m + g = ∫ 0 t d t

A integral do lado direto é canônica do gênero:

∫ 1 a x 2 + b d x = arctg ⁡ a x b a b  

Preciso de um pouco do esforço de vocês para essa parte, pois ela demanda um pouco de atenção!

Sendo a = C / m e b = g , nossa integral fica:

arctg ⁡ C m g ⋅ V 0 - V C g m = t  

Agora precisamos isolar nosso amigo V assim:

C m g ⋅ V 0 - V = t g ⁡ t ⋅ C g m

V t = V 0 - m g C ⋅ t g ⁡ t ⋅ C g m

Passo 3

b)

Estamos quase lá, não desistam! Kkkkkkk

Para encontrarmos a equação da posição, vamos integrar a equação da velocidade que encontramos na etapa anterior!

d z d t = V 0 - m g C ⋅ t g ⁡ t ⋅ C g m

∫ 0 z d z = ∫ 0 t V 0 - m g C ⋅ t g ⁡ t ⋅ C g m d t

z = V 0 ⋅ t - m C ⋅ ln ⁡ sec ⁡ t ⋅ C g m

Amém irmãs e irmãos, finalmente chegamos ao final de tanta integração!

Agora pra finalizar de vez, só precisamos substituir nas equações os valores dados pela questão, primeiro precisamos encontrar o tempo.

V t = V 0 - m g C ⋅ tan ⁡ t ⋅ C g m

0 = 45 m s - 37,72   m s ⋅ tan ⁡ t ⋅ 0,2601   s - 1

t s ≈ 3,36   s

Encontrando a altura:

z m á x = 45   m s ⋅ 3,36   s - 145   m ⋅ ln ⁡ sec ⁡ 3,36   s ⋅ 0,2601   s - 1

z m á x ≈ 86,9   m

Comparando com o caso sem arrasto:

t s = V 0 g = 45 9,81 = 4,59   s

z m á x = V 0 2 2 g = 45 2 2 ⋅ 9,81 = 103,2   m

O arrasto reduz a velocidade 15,8 % da altura máxima atingida pela bola!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

V t = V 0 - m g C ⋅ tan ⁡ t ⋅ C g m

z = V 0 ⋅ t - m C ⋅ ln ⁡ sec ⁡ t ⋅ C g m

z m á x ≈ 86,9   m

O arrasto reduz a velocidade 15,8 % da altura máxima atingida pela bola!

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