Uma bola de futebol, que deve ser lançada a 96,6 km/h no ar ao nível do mar (rho = 1,22 kg/m3, mu =1,78E-5 N s/m2), deve ser testada usando um modelo na escala 1:4 em um túnel hidrodinâmico (rho = 998 kg/m3, mu = 0,0010 N.s/m2). Para semelhança dinâmica, qual é a razão entre a força no protótipo e a força no modelo?

(a) 3,86:1, (b) 16:1, (c) 32:1, (d) 56:1, (e) 64:1

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Essa questão é simples e vamo matar ela nesse passo mesmo.

Temos aqui uma bola de futebol que deve ser lançada no ar ao nível do mar mar ( ρ =   1,22   k g / m ³ ,   μ =   1,78 E - 5   N ∙ s / m ² ) a uma velocidade de 96,6   k m / h .

Essa bola deve ser testada usando um modelo na escala α = 1 : 4 em um túnel hidrodinâmico ( ρ   =   998   k g / m ³ ,     μ   =   0,0010   N ∙ s / m ² ).

Ou seja, temos um modelo, em escala reduzida, para o protótipo projetado, e a questão nos pede para calcular a razão entre a força no protótipo e a força no modelo.

Para isso, devemos lembrar que a força de arrasto é dada por:

F = 1 2 C d ρ A v ²

Sendo: C d o coeficiente de arrasto, ρ a massa específica do fluido; A a área da bola e v a velocidade.

Nos próximos passos, iremos resolver o problema.

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular a velocidade para o protótipo.

Como temos a semelhança dinâmica entre o modelo e o protótipo de bola, os números de Reynolds devem ser iguais:

R e m = R e p → ρ m v m D m μ m = ρ p v p D p μ p  

Devemos lembrar que, pela escala, D m D p = α = 1 4

Substituindo as grandezas que conhecemos na relação:

998   k g / m ³ v m 0,0010   N ∙ s / m ² = 1,22 k g m 3 96,6   k m / h 4 1,78 E - 5   N ∙ s / m ²

v m = 26,54   k m / h

Passo 3

Agora, iremos calcular a razão entre força de arrasto no protótipo e no modelo.

Podemos relacionar as duas forças de arrasto como sendo:

F p F m = 1 2 C d ρ p D p ² v p ² 1 2 C d ρ m D m ² v m ² = ρ p ρ m v p v m 2 D p D m 2

Substituindo os valores que já temos:

F p F m = 1,22   k g / m ³   998   k g / m ³ 96,6   k m / h 26,54   k m / h   2 4 2  

F m F p = 3,86 1

Ou seja, a reposta do problema é alternativa (a).

Resposta

A resposta do problema é alternativa (a),   3,86 : 1

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