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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 108

Para cada uma das equações listadas, escreva a equação em forma vetorial e decida se ela é linear ou não-linear. Se ela for não-linear, que termo(s) a faz(em) ser assim? (a) equação da continuidade incompressível, (b) equação da continuidade compressível e (c) equação de Navier-Stokes incompressível.

Passo 1

Fala galera!!

Nessa questão, queremos escrever a forma vetorial da equação da continuidade incompressível, da equação da continuidade compressível, da equação de Navier-Stokes incompressível e falar se elas apresentam termos que a tornam equações não lineares.

Passo 2

a) A equação vetorial de continuidade incompressível (9-16) é a seguinte:

∇ → ⋅ V → = 0

Nessa equação, não há termo não-linear. Portanto, a equação vetorial de continuidade incompressível é linear.

Passo 3

b) A equação vetorial de continuidade compressível (9-5) é a seguinte:

∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ ρ V → = 0

Nessa equação, o termo ρ V → é não-linear. Portanto, a equação vetorial de continuidade compressível é não-linear.

Passo 4

c) A equação vetorial incompressível de Navier-Stokes (9-60) é a seguinte:

ρ D V → D t = - ∇ → P + ρ g → + μ ∇ 2 V →

Podemos escrever a equação acima da seguinte maneira:

ρ ∂ V → ∂ t + V → ⋅ ∇ → V → = - ∇ → P + ρ g → + μ ∇ 2 V →

Nessa equação, o termo V → ⋅ ∇ → V → é não-linear. Portanto, a equação vetorial de Navier-Stokes é não-linear.

Resposta

a) Equação de continuidade incompressível é linear

∇ → ⋅ V → = 0

b) Equação vetorial de continuidade compressível é não-linear:

∂ ρ ∂ t + ∇ → ⋅ ρ V → = 0

Termo não-linear ρ V →

c) Equação vetorial incompressível de Navier-Stokes é não-linear:

ρ ∂ V → ∂ t + V → ⋅ ∇ → V → = - ∇ → P + ρ g → + μ ∇ 2 V →

Termo não-linear V → ⋅ ∇ → V →

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