Enunciado

Para o campo de tensão bidimensional da Figura P2.1 sabe-se que

σ x x = 143640 N m 2                   σ y y = 95760 N m 2                   e                     σ x y = 23940 N m 2

Encontre as tensões de cisalhamento e normal (em N / m 2 ) que atuam sobre o plano de corte AA no elemento a um ângulo de 30° como mostra a figura.

Passo 1

Vamo lá resolver essa questão!

No corte AA, vamos ter o seguinte esquema para entender melhor a questão.

Teremos que, para encontrar as tensões de cisalhamento e a normal no corte AA utilizaremos o somatório de forças, assim:

∑ F A A = 0

Calculando cada força separada, vamos começar pela normal, que aponta para fora, assim:

∑ F n , A A = 0 = σ A A L - σ X X sen ⁡ 30 + σ X Y cos ⁡ 30 L sen ⁡ 30 - σ Y Y cos ⁡ 30 + σ X Y sen ⁡ 30 L cos ⁡ 30

σ A A = σ X X sen ⁡ 30 + σ X Y cos ⁡ 30 sen ⁡ 30 + σ Y Y cos ⁡ 30 + σ X Y sen ⁡ 30 cos ⁡ 30

Substituindo os valores dados, teremos:

σ A A = 143640 sen ⁡ 30 + 23940 cos ⁡ 30 sen ⁡ 30 + 95760 cos ⁡ 30 + 23940 sen ⁡ 30 cos ⁡ 30

σ A A = 128462,6   N / m 2

Passo 2

Para encontrar a tensão de cisalhamento, tangencial a superfície, usaremos o mesmo raciocínio, assim:

∑ F t , A A = 0 = τ A A L - σ X X cos ⁡ 30 - σ X Y sen ⁡ 30 L sen ⁡ 30 - - σ Y Y sen ⁡ 30 + σ X Y cos ⁡ 30 L cos ⁡ 30

τ A A = σ X X cos ⁡ 30 - σ X Y sen ⁡ 30 sen ⁡ 30 + - σ Y Y sen ⁡ 30 + σ X Y cos ⁡ 30 cos ⁡ 30

Substituindo os valores dados, teremos:

τ A A = 143640 cos ⁡ 30 - 23940 sen ⁡ 30 sen ⁡ 30 + - 95760 sen ⁡ 30 + 23940 cos ⁡ 30 cos ⁡ 30

τ A A = 32703   N / m 2

Resposta

σ A A = 128462,6   N / m 2

τ A A = 32703   N / m 2

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