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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 1

Para os campos de velocidade dados abaixo, determine: a. Se o campo de escoamento é uni, bi ou tridimensional, e por quê. b. Se o escoamento é em regime permanente ou transiente, e por quê. (As quantidades a e b são constantes.)

1 v → = a x + t e b y i ^

2 v → = a x - b y i ^

3 v → = a x i ^ + e b x j ^

4 v → = a x i ^ + b x 2 j ^ + a x k ^

5 v → = a x i ^ + e b I j ^

6 v → = a x i ^ + b x 2 j ^ + a y k ^ 7 v → = a x i ^ + e b I j ^ + a y k ^

8 v → = a x i ^ + e b y j ^ + a z k ^

Para os casos onde aparece o t, vc deve derivar e mostrar que a derivada é diferente de zero para que seja transiente, na sua resolução, você não mostrou as derivadas. Além disso, o equation está ruim para as velocidades. Use \vec para por a setinho em cima e use \hat para o circunflexo em cima dos vetores unitários. Não precisa usar negrito, se não me engano, o site não diferencia negrito nos equations.

Passo 1

Vamos lá! A gente quer primeiro, descobrir se o campo é uni, bi ou tridimensional e depois a gente quer descobrir se o regime é permanente ou transiente!

Vamos começar usando o primeiro caso pra entendermos como a gente faz isso!

1 v → = a x + t e b y i ^

Temos varias letrinhas aqui, a e b o enunciado diz que são constantes, então a gente vai deixar ela de lado um pouquinho! Temos t que vai ser importante pra saber se o escoamento vai ser transiente ou permante..mas já já a gente fala dele!

O que é importante agora pra a gente é esse x e y , cada um representa uma dimensão! Sabe quando você ta fazendo um gráfico e tem o eixo x e o eixo y ?! Então, esse gráfico esta em duas dimensões!

Se tivessemos apenas o x ou apenas o y ele seria unidimensional e se tivesse x , y e z por exemplo ele seria tridimensional!

Aqui temos x e y , duas dimensões, portanto bidimensional!

Esse vetor também poderia ser escrito assim:

v → = v → x , y

Porque ele ta em função de x e y .

Agora como saber se o escoamento é permantente ou transiente?!

Um escoamento permanete é um escoamento onde as propriedades de cada ponto do fluido não variam com o tempo, pode ser QUALQUER propriedade, mas a que temos aqui é a velocidade!

Se a velocidade não varia com o tempo, podemos dizer que:

∂ V → ∂ t = 0

Aplicando para o primeiro caso:

∂ V → ∂ t = ∂ a x + t e b y ∂ t = e b y ≠ 0

O escoamento é diferente de zero, portanto ele é transiente!

Maaas, tem um jeito rapidão de ver isso sem ter que derivar todos os casos!!!!!

A derivada é em relação a t , então todas as outras icógnitas são constantes!

E como isso ajuda a gente?!

A derivada de uma constante é igual a zero! Portanto sempre que não aparecer o t no campo de escoamento a derivada vai ser igual a zero e o campo vai ser permante!

Por outro lado, se aparecer a derivada provavelmente vai ser diferente de zero, mas não da pra generalizar! Então nesse caso vamos calcular a derivada!!

Agora vamos aplicar o que a gente terminou de ver em todos os outros casos!

Passo 2

2 v → = a x - b y i ^ .:

(a) → V = → V x , y → b i d i m e n s i o n a l

(b) Não aparece o t , o escoamento é permanente!

3 v → = a x i ^ + e b x j ^ .:

(a) → V = → V x → u n i d i m e n s i o n a l

(b) Não aparece o t , o escoamento é permanente!

4 v → = a x i ^ + b x 2 j ^ + a x k ^ .:

(a) → V = → V x → u n i d i m e n s i o n a l

(b) Não aparece o t , o escoamento é permanente!

5 v → = a x i ^ + e b I j ^ .:

(a) → V = → V x → u n i d i m e n s i o n a l

(b) Aparece o t , vamos derivar:

∂ V → ∂ t = ∂ a x + e b t ∂ t = b e b t ≠ 0

6 v → = a x i ^ + b x 2 j ^ + a y k ^ .:

(a) → V = → V x , y → b i d i m e n s i o n a l

(b) Não aparece o t , o escoamento é permanente!

7 v → = a x i ^ + e b I j ^ + a y k ^ .:

(a) → V = → V x , y → b i d i m e n s i o n a l

(b) Aparece o t , vamos derivar:

∂ V → ∂ t = ∂ a x + e b t + a y ∂ t = b e b t ≠ 0

8 v → = a x i ^ + e b y j ^ + a z k ^ .:

(a) → V = → V x , y , z → t r i d i m e n s i o n a l

(b) Não aparece o t , o escoamento é permanente!

Resposta

    1. Bidimensional
    2. Bidimensional
    3. Unidimensional
    4. Unidimensional
    5. Unidimensional
    6. Bidimensional
    7. Bidimensional
    8. Tridimensional
    1. Transiente
    2. Permanente
    3. Permanente
    4. Permanente
    5. Transiente
    6. Permanente
    7. Transiente
    8. Permanente
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