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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 13

Um campo de velocidade bidimensional é dado por

u = - K y x 2 + y 2           v = K x x 2 + y 2

em que K é constante. Esse campo satisfaz a continuidade incompressível? Transforme essas velocidades em componentes polares v r e v θ . O que esse escoamento pode representar?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

Para começar, vamos comprovar a continuidade, assim fazendo da mesma forma que fazemos das formas anteriores, temos:

d u d x + d v d y = 0

d d x - K y x 2 + y 2 = 2 K x y x 2 + y 2

d d y K x x 2 + y 2 = - 2 K x y x 2 + y 2

2 K x y x 2 + y 2 - 2 K x y x 2 + y 2 = 0

Logo a condição da continuidade bate!

Passo 2

Pra matarmos essa questão, vamos fazer a seguinte consideração:

x = r cos ⁡ θ ,         y = r sen ⁡ θ

Assim nossas equações vão ficar:

u = - K r sen ⁡ θ ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sen ⁡ θ ) 2           v = K r cos ⁡ θ ( r cos ⁡ θ ) 2 + ( r sen ⁡ θ ) 2

u θ = K r sen ⁡ θ ;   v θ = K r cos ⁡ θ      

V θ = K r

Como não temos componente radial na aceleração:

V r = 0

Assim, o escoamento indica um possível vórtex!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

Condição da continuidade Ok!

V r = 0 ; V θ = K r

O escoamento indica um possível vórtex!

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