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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 12

As coordenadas polares esféricas ( r ,   θ ,   ϕ ) são definidas na Figura P 4.12 . As transformações cartesianas são

x = r sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ

y = r sen ⁡ θ sen ⁡ ϕ

z = r cos ⁡ θ

A relação da continuidade cartesiana incompressível [ E q u a ç ã o   ( 4.12 a ) ] pode ser transformada na forma polar esférica

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ v θ sen ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0

Qual é a forma mais geral de v r quando o escoamento é puramente radial, isto é, v θ e v ϕ são nulas?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão, mas vamos ter uma conversinha!

Olha, poderiamos resolver esse problema por derivada, mas ficaria muito longa, além disso ficaria extremamente desgastante para estudarmos!

Esse problema só tem como desejo introduzir o conceito de coordenadas esféricas!

Depois de todo esse contexto, vamos lá!

Se:

v θ = v ϕ = 0

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ θ v θ sen ⁡ θ + 1 r sen ⁡ θ ∂ ∂ ϕ v ϕ = 0

1 r 2 δ δ r r 2 v r + 0 + 0 = 0

Então o primeiro termo tem que ser igual a zero:

1 r 2 ∂ ∂ r r 2 v r = 0

Assim:

∫ ∂ ∂ r r 2 v r d r = ∫ 0   d r

r 2 v r = C

v r = 1 r 2 ⋅ C

Considerando que C é uma constante baseada em θ e ϕ , temos:

v r = 1 r 2 ⋅ C θ ,   ϕ

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

v r = 1 r 2 ⋅ C θ ,   ϕ

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