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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 6

Suponha que o escoamento no bocal convergente da Figura P 4.2 tenha a forma V = V 0 [ 1 + ( 2 x ) / L   ] i . Calcule (a) a aceleração do fluido em x =   L e (b) o tempo necessário para uma partícula de fluido se deslocar de x = 0 a x = L .

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão rapidinho!

a)

Nosso campo de velocidade é unidimensional o que facilita mais nossas contas. haha

Agora para encontrarmos nossa aceleração vamos derivar o campo de velocidade!

Como não temos componentes dependentes do tempo:

d u d t = u ∂ u ∂ x

d u d t = V 0 1 + 2 x L .   2 V 0 L + 0 = 2 V 0 2 L 1 + 2 x L

Como a questão nos pede para x = L , vamos substituir:

a = 2 V 0 2 L 1 + 2 L L = 6 V 0 2 L

Passo 2

b)

Bem, até agora só estávamos derivando, mas agora chegou a hora de integrar haha!

Bem, vamos organizar nossa formula da seguinte maneira:

d x d t = V 0 1 + 2 x L

Vamos separar nossas variáveis e integrar no limite proposto, de x = 0 até x = L , vai ficar assim:

∫ 0 L d x V 0 1 + 2 x L = ∫ 0 t d t

1 V 0 ∫ 0 L d x 1 + 2 x L = ∫ t 0 t d t

L ⋅ ln ⁡ 2 L + L - L 2 V 0 = Δ t

Δ t 0 → L = L 2 V 0 ⋅ ln ⁡ 2 L + L L = L 2 V 0 ⋅ ln ⁡ 3

Δ t 0 → L = L ⋅ ln ⁡ 3 2 V 0

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a)

a = 6 V 0 2 L

b)

Δ t 0 → L = L ⋅ ln ⁡ 3 2 V 0

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