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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 4

6.4 Um campo de velocidade em um fluido com massa específica de 1000 kg/m³ é dado por V → = - A x + B y t i ^ + A y + B x t j ^ , em que A = 2   s - 1 , B = 1   m / s 2 , x e y são em metros e t é em segundos. As forças de campo são desprezíveis. Avalie ∇ p no ponto ( x , y ) = ( 1,2 ) para t = 1   s .

Passo 1

Na direção x:

∂ p ∂ x = ρ g x - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Considerando bidimensional em xy w ∂ u ∂ z = 0 e como as forças de campos são desprezíveis g x = 0 , então:

∂ p ∂ x = - ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + ∂ u ∂ t

Com u = - A x + B y t e v = A y + B x t

∂ p ∂ x = - ρ - A x + B y t   ∂ - A x + B y t ∂ x + A y + B x t - A x + B y t ∂ y + ∂ - A x + B y t ∂ t

∂ p ∂ x = - ρ - A x + B y t   - A t + A y + B x t B t + - A x + B y

No ponto ( x , y ) = ( 1,2 ) para t = 1   s ( A = 2   s - 1 , B = 1   m / s 2   e ρ = 1000   k g / m 3   )

∂ p ∂ x = - 1000 - 2 1 + 1 2 1   - 2 1 + 2 2 + 1 1 1 1 1 + - 2 1 + 1 2

∂ p ∂ x = - 5000 k g m 3 m s 2

Sabemos,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ x = - 5000 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ x = - 5000 P a m

Passo 2

Na direção y:

∂ p ∂ y = ρ g y - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + w ∂ v ∂ z + ∂ v ∂ t

Considerando bidimensional em xy w ∂ u ∂ z = 0 e como as forças de campos são desprezíveis g x = 0 , então:

∂ p ∂ y = - ρ u ∂ v ∂ x + v ∂ v ∂ y + ∂ v ∂ t

Com u = - A x + B y t e v = A y + B x t

∂ p ∂ y = - ρ - A x + B y t   ∂ A y + B x t ∂ x + A y + B x t A y + B x t ∂ y + ∂ A y + B x t ∂ t

∂ p ∂ y = - ρ - A x + B y t   B t + A y + B x t A t + A y + B x

No ponto ( x , y ) = ( 1,2 ) para t = 1   s ( A = 2   s - 1 , B = 1   m / s 2   e ρ = 1000   k g / m 3   )

∂ p ∂ y = - 1000 - 2 1 + 1 2 1 1 1 + 2 2 + 1 1 1 2 1 + 2 2 + 1 1

∂ p ∂ y = - 15000 k g m 3 m s 2

Sabemos,

N = k g m s 2

Então:

∂ p ∂ y = - 15000 N m 3

Como, P a = N / m 2 , então:

∂ p ∂ y = - 15000 P a m

Ficando, o gradiente de pressão:

∇ p = - 5000 i ^ - 15000 j ^ P a m  

Resposta

∇ p = - 5000 i ^ - 15000 j ^ P a m  

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