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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 165

Um motor de foguete é usado para acelerar um míssil até uma velocidade de 5600   k m / h em voo horizontal. Os gases de combustão deixam o bocal do foguete axialmente e à pressão atmosférica com uma velocidade de 9600   k m / h em relação ao foguete. A ignição do motor do foguete ocorre no momento do lançamento do míssil por uma aeronave voando horizontalmente a u 0 = 960 k m / h . Desprezando resistência do ar, obtenha uma expressão algébrica para a velocidade alcançada pelo míssil em voo nivelado. Determine a mínima fração da massa inicial do míssil que deve ser combustível para realizar a aceleração desejada.

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não a resistência nem força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = v e ⋅ m ˙

Passo 3

Como - a r x = - d u d t ( m 0 - m ˙ t ) :

d u d t =   v e ⋅ m ˙ m = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t

Assim:

d u = v e ⋅ m ˙ m 0 - m ˙ t d t

∫ u 0 u d u = v e ⋅ m ˙ ∫ 0 t 1 m 0 - m ˙ t d t

Integrando:

u - u 0 = v e ⋅ ln ⁡ m 0 m 0 - m ˙ t = - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0

u = u 0 - v e ln ⁡ 1 - m ˙ t m 0

Assim, temos que a fração de massa é dada:

m ˙ t m 0 = 1 - e u 0 - u v e

Passo 4

Sendo:

u = 5600   m / s   ;

u 0 = 9 6 0   k g ;

v e = 960 0   m / s .

Então:

m ˙ t m 0 = 1 - e 960 - 5600 9600 = 0,3833

Em porcentagem, temos:

38,33   %

Resposta

38,33   %

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