Enunciado

O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. Como o escoamento é simétrico com relação ao eixo x , o segmento de reta A B ao longo do eixo x permanece no eixo, mas se estica do comprimento ξ até o comprimento ξ + Δ ξ ao escoar ao longo do eixo central do canal (Figura P4-43). Gere uma expressão analítica para a variação do comprimento do segmento de reta Δ ξ . (Sugestão: Use os resultados do Problema 4-41.)

Passo 1

Vamos começar definindo as hipóteses do problema:

  1. O escoamento está em regime permanente;
  2. O escoamento é bidimensional.

Vamos usar a equação deduzida no Problema 4-42. A posição da partícula em um tempo arbitrário t é:

x ' = 1 b U 0 + b x e b t - U 0

Passo 2

Para a partícula A no tempo t , sua localização é dada por:

x A ' = 1 b U 0 + b x A e b t - U 0

Para a partícula B:

x B ' = 1 b U 0 + b x B e b t - U 0

Como ξ = x B - x A e ξ + Δ ξ = x B ' - x A ' , podemos escrever uma expressão para Δ ξ como:

Δ ξ = x B ' - x A ' - x B - x A = 1 b U 0 + b x B - U 0 - 1 b U 0 + b x A - U 0 - x B - x A

Δ ξ = x B e b t - x A e b t - x B + x A = x B - x A ( e b t - 1 )

Resposta

Δ ξ = x B - x A ( e b t - 1 )

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