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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 45

O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. Uma partícula de fluido (A) está localizada no eixo x = x A e y = y A no instante t = 0 (Figura P4-45). Em algum instante posterior t , a partícula de fluido moveu-se a jusante com o escoamento até algum novo local x = x A ' , y = y A ' , como mostra a figura. Gere uma expressão analítica para a localização y da partícula de fluido em qualquer instante t arbitrário em termos de sua posição inicial y = y A e das constantes b . Em outras palavras, deduza uma expressão para y A ' . (Sugestão: Sabemos que u = d y p a r t í c u l a / d t seguindo uma partícula de fluido. Substitua v , separe as variáveis e integre.)

Passo 1

Vamos começar com as hipóteses do problema:

  1. O escoamento está em regime permanente;
  2. O escoamento é bidimensional no plano x y

Vamos relembrar que o nosso campo de velocidade é descrito por:

V → = u , v = U 0 + b x i → - b y j →

Passo 2

Vamos começar a dedução pela definição da componente velocidade u :

v = d y p a r t í c u l a d t = - b y p a r t í c u l a

com condição inicial t = 0 , y = y A . Rearranjando e separando as variáveis temos:

d y y = - b d t

Integrando ambos os lados temos:

ln ⁡ y + C = - b t

Podemos definir C = ln ⁡ C 1 , por conveniência, e assim temos:

ln ⁡ y + ln ⁡ C 1 = - b t

Como ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a b , temos que:

  ln ⁡ C 1 y = - b t → y = 1 C 1 e - b t

y = C 2 e b t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais definidas para o modelo diferencial temos:

y A = C 2 e - 0 ⋅ b → C 2 = y A

Logo, para a posição da partícula em um tempo arbitrário t ( x = x A ' ) temos:

y = y A e - b t

Resposta

y = y A e - b t

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