O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. Uma partícula de fluido (A) está localizada no eixo x = x A no instante t = 0 (Figura P4-42). Em algum instante posterior t , a partícula de fluido moveu-se a jusante com o escoamento até algum novo local x = x A ' , como mostra a figura. Como o escoamento é simétrico com relação ao eixo x , a partícula de fluido permanece no eixo x todos os instantes. Gere uma expressão analítica para a posição x da partícula de fluido em qualquer instante t arbitrário em termos de sua posição inicial x A e das constantes U 0 e b . Em outras palavras, deduza uma expressão para x A ' . (Sugestão: Sabemos que u = d x p a r t í c u l a / d t í seguindo uma partícula de fluido. Substitua u , separe as variáveis e integre.)

x = 1 b [ U 0 + b x A e b t - U 0 ]

Enunciado

Vamos começar com as hipóteses do problema:

Vamos relembrar que o nosso campo de velocidade é descrito por:

Vamos começar a dedução pela definição da componente velocidade :

com condição inicial , . Rearranjando e separando as variáveis temos:

Integrando ambos os lados temos:

Podemos definir , por conveniência, e assim temos:

Como , temos que:

Aplicando as condições iniciais definidas para o modelo diferencial temos:

Logo, para a posição da partícula em um tempo arbitrário () temos: