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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 42

O escoamento de duto convergente é modelado pelo campo de velocidade em regime permanente e bidimensional do Problema 4-15. Uma partícula de fluido (A) está localizada no eixo x = x A no instante t = 0 (Figura P4-42). Em algum instante posterior t , a partícula de fluido moveu-se a jusante com o escoamento até algum novo local x = x A ' , como mostra a figura. Como o escoamento é simétrico com relação ao eixo x , a partícula de fluido permanece no eixo x todos os instantes. Gere uma expressão analítica para a posição x da partícula de fluido em qualquer instante t arbitrário em termos de sua posição inicial x A e das constantes U 0 e b . Em outras palavras, deduza uma expressão para x A ' . (Sugestão: Sabemos que u = d x p a r t í c u l a / d t seguindo uma partícula de fluido. Substitua u , separe as variáveis e integre.)

Passo 1

Vamos começar com as hipóteses do problema:

  1. O escoamento está em regime permanente;
  2. O escoamento é incompressível
  3. O escoamento é bidimensional no plano x y

Vamos relembrar que o nosso campo de velocidade é descrito por:

V → = u , v = U 0 + b x i → - b y j →

Passo 2

Vamos começar a dedução pela definição da componente velocidade u :

u = d x p a r t í c u l a d t = U 0 + b x p a r t í c u l a

com condição inicial t = 0 , x = x A . Rearranjando e separando as variáveis temos:

d x U 0 + b x = d t

Integrando ambos os lados temos:

1 b [ ln ⁡ U 0 + b x   + C ] = t

Podemos definir C = ln ⁡ C 1 , por conveniência, e assim temos:

1 b [ ln ⁡ U 0 + b x + ln ⁡ C 1 ] = t

Como ln ⁡ a + ln ⁡ b = ln ⁡ a b , temos que:

1 b ln ⁡ C 1 U 0 + b x = t →   ln ⁡ C 1 U 0 + b x = b t → U 0 + b x = 1 C 1 e b t

U 0 + b x = C 2 e b t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais definidas para o modelo diferencial temos:

U 0 + b x A = C 2 e 0 ⋅ b → C 2 = U 0 + b x A

Logo, para a posição da partícula em um tempo arbitrário t ( x = x A ' ) temos:

U 0 + b x = U 0 + b x A e b t → b x = U 0 + b x A e b t - U 0

x = 1 b [ U 0 + b x A e b t - U 0 ]

Resposta

x = 1 b [ U 0 + b x A e b t - U 0 ]

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