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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 75

Uma casca esférica, com raios interno e externo r i e r e , respectivamente, está cheia de um material gerador de calor que fornece uma taxa volumétrica de geração ( W / m 3 ) e uniforme igual a q ˙ . A superfície externa da casca está exposta a um fluido com temperatura T ∞ e coeficiente convectivo h . Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas em regime estacionário T ( r ) na casca, expressando o seu resultado em termos de r i ,   r e ,   q ˙ ,   h ,   T ∞ e da condutividade térmica k do material da casca.

Passo 1

Vamos começar colocando algumas considerações. A transferência de calor ocorre em regime permanente e apenas na direção radial, então, a taxa de transferência de calor é constante e pode ser descrita pela lei de Fourier:

q r = - k A s d T d r

q r = - k 4 π r 2 d T d r

- q r 4 π k = C 1 = r 2 d T d r

C 1 r 2 d r = d T

Integrando dos dois lados:

∫ C 1 r 2 d r = ∫ d T

- C 1 r + C 2 = T

Passo 2

Para determinar as constantes C 1   e C 2 vamos aplicar as condições de contorno para o sistema. Para r = r i , sabemos que a taxa de geração de energia deve ser igual à taxa de calor por condução. Então:

q = q c o n d

q ˙ V = - k ( 4 π r i 2 )   d T d r r i

q ˙ 4 3 π r i 3 = - k ( 4 π r i 2 ) d T d r r i

q ˙ r i 3 = - k d T d r r i

d T d r r i = - q k ˙ r i 3

Como

C 1 = r 2 d T d r

C 1 = r i 2 d T d r r i

C 1 = r i 2 - q k ˙ r i 3

C 1 = - q k ˙ r i 3 3

Passo 3

Considerando agora o caso em que r = r e , a taxa de transferência de calor por condução deve ser igual à taxa de transferência por convecção na superfície:

q c o n v = q c o n d

h A s T s , 2 - T ∞ = - k A s d T d r r e

h T s , 2 - T ∞ = - k d T d r r e

Aplicando

T s , 2 = T r e = - C 1 r e + C 2

T s , 2 = - 1 r e - q k ˙ r i 3 3 + C 2

T s , 2 = q k ˙ r i 3 3 r e + C 2

E

C 1 = r 2 d T d r

d T d r = C 1 r 2

d T d r r e = 1 r e 2 - q k ˙ r i 3 3

d T d r r e = - q k ˙ r i 3 3 r e 2

Ficamos com:

h T s , 2 - T ∞ = - k d T d r r e

h q k ˙ r i 3 3 r e + C 2 - T ∞ = - k - q k ˙ r i 3 3 r e 2

h q k ˙ r i 3 3 r e + C 2 - T ∞ = q ˙ r i 3 3 r e 2

q k ˙ r i 3 3 r e + C 2 - T ∞ = q h ˙ r i 3 3 r e 2

C 2 = T ∞ + q h ˙ r i 3 3 r e 2 - q k ˙ r i 3 3 r e

Substituindo C 1 e C 2 no perfil:

T = - C 1 r + C 2

T = - 1 r - q k ˙ r i 3 3 + T ∞ + q h ˙ r i 3 3 r e 2 - q k ˙ r i 3 3 r e

T = q k ˙ r i 3 3 1 r - 1 r e + q h ˙ r i 3 3 r e 2 + T ∞

Resposta

O perfil de temperatura na casca para esse caso é:

T = q k ˙ r i 3 3 1 r - 1 r e + q h ˙ r i 3 3 r e 2 + T ∞

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