Enunciado

Uma chapa muito espessa, que tem difusividade térmica de 5,6.10 - 6   m 2 / s e condutividade térmica igual a 20 W/(m · K), está inicialmente a uma temperatura uniforme de 325 °C. De repente, a sua superfície é exposta a um refrigerante a 15 °C para o qual o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 100 W/(m² · K).

(a) Determine as temperaturas na superfície e a uma profundidade de 45 mm passados 3 min da exposição da chapa ao refrigerante.

(b) Calcule e represente graficamente os históricos de temperatura (0 ≤ t ≤ 300 s) em x = 0 e x = 45 mm para as seguintes variações paramétricas: (i) α = 5,6.10 - 7   ; 5,6.10 - 6   e   5,6.10 - 5   m 2 / s ; e (ii) k = 2, 20 e 200 W/(m · K).

Passo 1

Beleza! Nesse exercício, vamos modelar o problema como sendo um sólido semi-infinito com convecção na superfície, então a temperatura em um ponto, para um determinado intervalo de tempo, pode ser encontrada a partir da equação 5.63, que é dada por:

T x , t - T i T ∞ - T i = erfc ⁡ x 2 α t - exp ⁡ h x k + h 2 α t k 2 e r f c x 2 α t + h α t k

Então, como estamos interessados na temperatura da superfície no instante t = 3 min, então, teremos as seguintes variáveis para substituir na equação acima

x = 0

t = 3 ( 60 )   s

Então, susbtituindo esses valores e os fornecidos no enunciado na equação acima, chegamos em:

T s - T i T ∞ - T i = erfc ⁡ 0 2 α t - exp ⁡ h ( 0 ) k + h 2 α t k 2 e r f c 0 2 α t + h α t k

T s - T i T ∞ - T i = 1 - exp ⁡ h 2 α t k 2 e r f c h α t k

T s - 325 15 - 325 = 1 - exp ⁡ 100 2 5,6.10 - 6 180 20 2 erfc ⁡ 100 5,6.10 - 6 180 20

T s - 325 - 310 = 1 - 1,0255 erfc ⁡ ( 0,1587 )

Então, agora precisamos recorrer à tabela B.2 do apêndice B para encontrar o valor da função erro de Gauss, com isso, a nossa equação se torna:

T s - 325 - 310 = 1 - 1,0255 0,822 → T s = 276,3   ° C

Passo 2

Agora, repetindo o cálculo do passo 1, só que para a profundidade x = 45 mm, temos:

T x - 325 15 - 325 = erfc ⁡ 0,045 2 5,6.10 - 6 ( 180 ) - exp ⁡ 100 ( 0,045 ) 20 + 100 2 ( 5,6.10 - 6 ) ( 180 ) 20 2 e r f c 0,045 2 5,6.10 - 6 ( 180 ) + 100 5,6.10 - 6 ( 180 ) 20

T x - 325 - 310 = erfc ⁡ 0,7087 - exp ⁡ 0,225 + 0,0252 e r f c 0,7087 + 0,1587

T x - 325 - 310 = erfc ⁡ 0,7087 - 1,284 e r f c 0,8674

Então, agora precisamos recorrer à tabela B.2 do apêndice B para encontrar o valor da função erro de Gauss, com isso, a nossa equação se torna:

T x - 325 - 310 = ( 1 - 0,684 ) - 1,284 ( 1 - 0,780 )

T x - 325 - 310 = 0,316 - 0,2825 → T x = 314,6   ° C

Passo 3

Agora, para a letra (b), vamos utilizar a mesma equação utilizada nos passos 1 e 2 para se obter a temperatura em um determinado ponto e em determinado instante de tempo, a diferença agora é que teremos que calcular para os dois valores de x novamente, na superfície e 45 mm abaixo, só que também teremos que calcular esses valores no intervalo de tempo de 0 até 300 segundos, para os diferentes valores de difusividade térmica fornecidos e depois para diferentes valores de condutividade. Primeiramente vamos calcular para o caso onde teremos condutividade térmica constante, mas variando a difusividade, com isso, na superfície, obtemos o seguinte gráfico:

Agora, para o mesmo caso, só que em x = 45 mm, temos o seguinte comportamento:

Passo 4

Agora nós vamos manter a difusividade constante em α = 5,6.10 - 6   m 2 / s e variar a condutividade térmica do material. Então, fazendo a análise primeiramente para a superfície, temos:

E, agora, para a profundidade x = 45 mm, temos:

Resposta

T s = 276,3   ° C

T x = 314,6   ° C

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