Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 61
Um cilindro comprido com 30 mm de diâmetro, inicialmente a uma temperatura uniforme de 1000 K, é subitamente resfriado pela imersão em um grande banho de óleo que se encontra a uma temperatura constante de 350 K. As propriedades do cilindro são k = 1,7 W/(m · K), c = 1600 J/(kg· K) e ρ = 400 kg/m3, enquanto o coeficiente convectivo é de 50 W/(m2 ·K).
(a) Calcule o tempo necessário para a superfície do cilindro atingir 500 K.
(b) Calcule e represente o histórico da temperatura da superfície do cilindro ao longo do intervalo 0 ≤ t ≤ 300 s. Se o óleo fosse agitado, fornecendo um coeficiente convectivo de 250 W/(m2 · K), como o histórico da temperatura iria mudar?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.
Temos um cilindro de 30 mm de diâmetro que é resfriado em um banho de óleo.
Em primeiro lugar, devemos calcular o tempo necessário para a temperatura da superfície atingir .
Para isso, se a gente supor tempos muito longos () podemos modelar a temperatura adimensional na superfície () a partir da equação:
Sendo e coeficientes que podem ser calculados a partir da Tabela 5.1, o adimensional Número de Fourier, a temperatura na superfície do bastão, a temperatura inicial e a temperatura do ar.
Depois, no final da questão, devemos colocar a temperatura da superfície do cilindro em função do tempo para dois valores de coeficiente de convecção .
Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:
Passo 2
Primeiro, devemos calcular o número de Biot para o problema:
Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de e parao cilindro. Como não temos, devemos fazer uma interpolação entre e :
Portanto, interpolando:
Vamos deixar o número de Fourier em função de :
Vamos substituir os valores que encontramos na equação que deduzimos no Passo 1:
A função é a Função de Bessel de Ordem Zero, na Tabela B.4 (página 652). Como não temos , vamos interpolar os valores de e :
Portanto:
Além disso, devemos lembrar que:
Igualando os dois resultados:
Vamos aplicar em ambos os lados da equação:
Vamo agora calcular o número de Fourier pra confirmar que nossa suposição de tempos longos tá certa:
Logo, nossa suposição estava certa :)
Passo 3
Pra finalizar a questão, vamos resolver a letra (b).
Devemos encontrar expressões para temperatura ao longo do tempo para cada uma das seguintes condições de coeficiente de convecção :
- Para
- Para
Vamos calcular o número de Biot:
Vamos agora na Tabela 5.1 para calcular os valores dos coeficientes de e parao cilindro. Como não temos, devemos fazer uma interpolação entre e :
Portanto, interpolando:
Agora, vamos encontrar :
A função é a Função de Bessel de Ordem Zero, na Tabela B.4 (página 652). Como não temos , vamos interpolar os valores de e :
Sendo assim:
Agora, pra matar de vez essa questão vamos agora traçar o gráfico de temperatura por tempo (de 0 a 300 s) com ajuda do Excel:
Como podemos ver, quanto maior o coeficiente , menor é a resistência a transferência de calor e mais rápido a temperatura da superfície vai entrando em equilíbrio com a temperatura do óleo.
Fechou? ;)
Resposta
(a) O tempo necessário para a temperatura da superfície atingir uma temperatura de 500 é .
(b)
