Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 81
Para o cilindro semicircular CDE no Exemplo 2.9, encontre a força hidrostática vertical integrando o componente vertical da pressão sobre a superfície de = 0 até = .
Passo 1
E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!
A primeira ideia que a gente tem que ter da questão é de qual assunto ela faz parte. Esse problema em específico é referente à seção 2.6 do livro, chamada “Forças sobre superfícies curvas”.
Pra entender a questão, dá uma olhada no esquema abaixo.
Algumas considerações devem ser feitas antes de começarmos a resolver a questão: em primeiro lugar, chamaremos a distância do ponto A (superfície livre) ao C de .
Além disso, o ângulo ao qual o enunciado se refere será como chamaremos o ângulo entre o raio e o eixo vertical do nosso sistema analisado.
A partir dessas considerações, iremos calcular a componente vertical da força hidrostática () a partir da integração da componente vertical da pressão agindo no sistema.
Em primeiro lugar, devemos definir a componente vertical da pressão a partir de uma simples relação trigonométrica ao olhar a figura. Sendo assim, temos que:
Além disso, devemos também definir a profundidade do sistema analisado.
Logo de cara, conseguimos ver que a distância permanece constante, mas também há uma variação na profundidade com relação ao ângulo .
Para entendermos essa variação, vamos pensar em um sistema de coordenadas polares. Se temos definido o ângulo que o sistema faz com determinada componente do sistema de coordenadas e o raio, teremos então o comprimento desta coordenada. Como na imagem abaixo:
Por exemplo, na figura abaixo sabemos que .
Pereba que também podemos aplicar essa lógica à nossa figura, com a profundidade variando com de forma que:
Então, perceba que é uma distância fixa no nosso sistema e que somamos mais distância à profundidade à medida que o ângulo aumenta.
No próximo passo, iremos montar a integral e calcular o valor de .
Passo 2
Para resolver a questão, faremos como o enunciado pede e iremos calcular como uma integral de :
Devemos lembrar que a pressão local é calculada pelo peso da água () vezes a profundidade ().
Além disso, , a unidade infinitesimal de área, pode ser reescrita como , sendo a largura da estrutura no sentido do papel.
Sendo assim, obtemos:
Note que o sinal está negativo porque a força aponta para baixo.
Pronto, matamos a questão juntos!
Resposta
A componente vertical da força hidrostática agindo nessa superfície é