Uma comporta parcialmente aberta em um canal retangular de 5 m de largura carrega água a 10 m³/s. A profundidade a montante é de 2,5 m. Determine a profundidade a jusante e o número de Froude.

Passo 1

Tá legal, podemos começar esse exercício aplicando a equação de Bernoulli entre o topo do canal (ponto 1) e o ponto onde a água é descarregada na comporta (ponto 2), então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Nesse caso, como ambos os pontos 1 e 2 estão expostos à atmosfera, então temos: p 1 = p 2 = p a t m e podemos cancelar os termos de pressão. Sabemos também que no ponto 1, temos a altura a montante dada no enunciado, de z 2 = 2,5   m , então, substituindo os valores conhecidos, a equação se torna:

v 1 2 2 + 2,5 g = v 2 2 2 + g z 2

Passo 2

Agora, devido a continuidade do problema, temos que Q 1 = Q 2 e podemos escrever:

Q 1 = Q 2 → Q = V 1 A 1 = V 2 A 2

No entanto, as áreas são dadas por:

A 1 = b y 1 ;     A 2 = b y 2

Então, dessa forma, podemos escrever as velocidades nos pontos 1 e 2, como:

Q = V 1 b y 1 → V 1 = Q b y 1

Q = V 2 b y 2 → V 2 = Q b y 2

Então, substituindo esses valores na equação de Bernoulli encontrada no passo 1, temos:

Q b y 1 2 2 + 2,5 g = Q b y 2 2 2 + g y 2

Agora, substituindo os valores conhecidos, temos:

10 5 2,5 2 2 + 2,5 9,81 = 10 5 y 2 2 2 + 9,81 y 2

24,845 = 2 y 2 2 + 9,81 y 2

Agora, multiplicando a equação dos dois lados por y 2 :

24,845 y 2 2 = 2 + 9,81 y 2 3 → 9,81 y 2 3 - 24,845 y 2 2 + 2 = 0

Para resolver essa equação, podemos contar com a ajuda de uma calculadora, que nos dá:

y 2 1 = - 0,270   m

y 2 2 = 0,302   m

y 2 3 = 2,5   m

Vamos analisar as possíveis soluções! Já podemos descartar a primeira de cara, pois nesse caso, nosso sistema de coordenadas está no fundo da barragem, e seria impossível a profundidade a jusante estar abaixo do nível do solo. E olhando para a terceira solução, podemos desconsidera-la pois ela se encontra a mesma altura da montante, o que seria impossível, então, só nos restou:

y 2 2 = 0,302   m

Passo 3

Agora, nós sabemos que o número de Froude é dado por:

F r = V c

E que, nesse caso, c é dado por:

c = g y

Então, substituindo a expressão para c na equação do número de Froude, temos:

F r = V g y

Então, precisamos encontrar a velocidade para encontrar o número de Froude. Para encontrar a velocidade ficou fácil, basta usar a fórmula da vazão apresentada no passo 2:

Q = V 2 b y 2 → V 2 = Q b y 2

Substituindo os valores conhecidos:

V 2 = 10 5 0,302 → V 2 = 6,62   m / s

E, substituindo esse valor para o número de Froude, temos:

F r 2 = V 2 g y 2 = 6,62 9,81 0,302 → F r 2 = 3,85

Resposta

y 2 2 = 0,302   m

F r 2 = 3,85

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