O conceito de parede variável é proposto para manter constante a espessura da camada limite no túnel de vento do Problema 9.76. Partindo das condições iniciais do Problema 9.76, avalie a distribuição de velocidade de corrente livre necessária para manter constante a espessura da camada limite. Considere largura constante, W 1 . Estime o ajuste das alturas do topo do túnel ao longo da seção de teste x = 0 na seção (1) até x = 254   m m na seção (2) a jusante.

Passo 1

Listinha do que a gente precisa fazer:

- Avaliar a distribuição de velocidade de corrente livre necessária para manter a camada limite constante

- Estimar h ( x )

Dados:

- Largura: W 1 = 0,305   m

- Altura: h 1 = 0,305   m

- Comprimento: L = 0,254   m

- Velocidade de corrente livre: U 1 = 24,5 m s

- Perfil de velocidade de potência 1 / 7 , escoamento turbulento:

u U = y δ

- Espessura da camada limite é δ 1 = 0,00975   m

- Gradiente de pressão: d p d x = - 0,035   m m   H 2 O / m m

- Vamos considerar ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 , μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m 2

- para esse perfil, foi calculado no Problema 9.76, que:

δ * = δ 8 ,     θ = 7 72 δ ,     H = 72 56

Vamos começar!

Passo 2

Queremos achar uma expressão para a velocidade, podemos usar a equação integral da quantidade de movimento:

d θ d x = τ w ρ U 2 - H + 2 θ U d U d x  

A gente quer que δ seja constante, logo podemos dizer que θ é constante, e d θ d x = 0 :

τ w ρ U 2 = H + 2 θ U d U d x

A gente vai precisar usar duas hipóteses, uma em que τ w é constante e outra em que ele varia com x , para resolver essa equação diferencial.

Passo 3

Hipótese 1:

τ w ρ H + 2 d x = U d U ∴ U 2 2 = τ w x ρ H + 2 + C

Como U 0 = U 1 :

U = 2 τ w x ρ H + 2 + U 1 2

Conseguimos!

Passo 4

Hipótese 2: Vamos considerar que τ w = 0,0233 ρ U 2 ν U δ 1 4 :

τ w ρ U 2 = H + 2 θ U d U d x ∴ 0,0233 ν U δ 1 4 = H + 2 θ U d U d x

0,0233 H + 2 θ ν δ 1 4 d x = U - 0,75 d U ∴ 0,0233 H + 2 θ ν δ 1 4 x + C = 4 U 1 4

Como U 0 = U 1 :

U = 0,0233 4 H + 2 θ ν δ 1 4 + U 1 1 4 4

Conseguimos de novo!

Passo 5

Para achar h ( x ) podemos pensar na conservação de massa, reescrevendo as áreas em função das espessuras de deslocamento da camada limite:

A 1 U 1 = A U ∴ U 1 W 1 - 2 δ 1 * h 1 - 2 δ 1 * = U W 1 - 2 δ 1 * h - 2 δ 1 *

Isolando h :

h = U 1 W 1 - 2 δ 1 * h 1 - 2 δ 1 * U W 1 - 2 δ 1 * + 2 δ 1 *

Como a gente sabe todos esses valores, inclusive U ( x ) , achamos h x . 😊

Se quiser, pode substituir as informações que o enunciado dá para achar essas expressões para nosso caso específico.

Resposta

U = 2 τ w x ρ H + 2 + U 1 2

ou

U = 0,0233 4 H + 2 θ ν δ 1 4 + U 1 1 4 4

H = U 1 W 1 - 2 δ 1 * H 1 - 2 δ 1 * U W 1 - 2 δ 1 * + 2 δ 1 *

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