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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 5

Óleo SAE 30 a 20°C e 1 atm escoa a 51 L/s de um reservatório para o interior de um tubo de 150 mm de diâmetro. Aplique a teoria da placa plana para determinar a posição x onde as camadas-limite na parede do tubo encontram-se no centro. Compare com a Equação (6.5) e dê algumas explicações para a discrepância.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos Óleo SAE 30 a 20 ° C escoando 51   L / s ( 0,051   m 3 / s ) de um reservatório para o interior de um tubo de diâmetro D = 0,15   m .

Vamos aplicar a teoria da placa plana para determinar a posição x onde as camadas-limite na parede do tubo se encontram no entro. Pra isso, vamos utilizar uma dessas duas equações:

δ x =   5 R e x 1 / 2 ,   p a r a   e s c o a m e n t o   l a m i n a r   10 3 < R e x < 10 6 0,16 R e x 1 / 7 ,   p a r a   e s c o a m e n t o   t u r b u l e n t o   10 6 < R e x

Além disso, o enunciado nos pede para comparar esse resultado com a equação correta para o comprimento de entrada que é:

x = 0,06 D R e

Além disso, devemos lembrar que para Óleo SAE 30 a 20 ° C a massa específica é ρ = 891   k g / m ³ μ = 0,29   P a ∙ s .

Então vem comigo que a gente vai resolver esse problema!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular a velocidade do escoamento:

V = Q A = 0,051   m 3 / s π 4 ( 0,15   m ) ² = 2,89   m / s

E, então, calculamos o número de Reynolds:

R e = 891 k g m 3 2,89 m s 0,15   m 0,29   P a ∙ s = 1332

Logo, o escoamento é LAMINAR, e usaremos a equação para o cálculo da espessura da cama-limite laminar.

Pra finalizar esse passo, a gente tem que saber que o local onde as camadas-limite se encontram será no centro tubo, ou seja, a espessura da camada-limite será igual ao raio do tubo, então δ = D 2 = 0,075   m .

Sendo assim:

δ x =   5 R e x 1 / 2

0,075   m x =   5 1332 1 / 2

x = 0,547   m

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos calcular o valor real para o comprimento de entrada:

x = 0,06 D R e

x = 0,06 0,15   m 1332 = 12   m

Como vocês podem ver, os dois resultados são muito diferentes, mostrando que a aproximação é muito errada.

Isso ocorre porque o escoamento em um tubo ocorre com um gradiente de pressão favorável na entrada, acelerando o fluido e fazendo com que sua camada-limite seja bem mais fina, levando uma distância maior pra atingir o centro.

Ponto, matamos a questão juntos!

Resposta

A posição onde as camadas-limite na parede do tubo encontram-se no centro é x = 0,547   m para a aproximação na placa e x = 12   m para a equação real do comprimento de entrada

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