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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 59

Para as condições do Problema 4.34, avalie a razão entre o fluxo de quantidade de movimento na direção x na saída do canal e aquele na entrada.

Passo 1

Considerações:

  1. Escoamento estacionário;
  2. Fluído incompressível;
  3. Escoamento uniforme.

Passo 2

Com as considerações feitas no Passo 1, temos que a equação do fluxo de momento na direção x é:

m ⋅ f x = ∫ A u ρ V d A

Passo 3

Analisando o fluxo de entrada, temos:

m ⋅ f x 1 = ∫ A 1 u ρ u d A = u 2 ρ A 1

Dado que A 1 = 2 h w :

m ⋅ f x 1 = 2 u 2 ρ h w

Passo 4

Analisando o fluxo de saída, temos:

m ⋅ f x 2 = ∫ - h h u ρ u d A = ∫ - h h u ρ u w d y

Dado que u = u m á x 1 - y h 2 :

m ⋅ f x 2 = ∫ - h h ρ w u m á x 2 1 - y h 2 2 d y

m ⋅ f x 2 = ρ w u m á x 2 ∫ - h h 1 - y h 2 2 d y

Integrando, obtemos:

m ⋅ f x 2 = 16 15 ρ w u m á x 2 h

Passo 5

Aplicando a equação de conservação de massa no fluxo de entrada e saída do canal:

∫ ρ V d A = 0

- ρ u 2 h w + ∫ - h h ρ u w d y = 0

ρ u 2 h w = ρ w ∫ - h h u d y

2 u h = ∫ - h h u d y

Sendo   u = u m á x 1 - y h 2 :

2 u h = ∫ - h h u m á x 1 - y h 2 d y

Integrando, temos que:

4 h 3 u m á x = 2 u h

Assim:

u m á x = 3 2 u

Passo 6

Queremos calcular m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 , então:

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 16 15 ρ w u m á x 2 h 2 u 2 ρ h w = 8 15 ⋅ u m á x 2 u 2

Sendo u m á x = 3 2 u :

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 8 15 ⋅ 9 4 u 2 u 2 = 8 15 ⋅ 9 4 = 1,2

Resposta

m ⋅ f x 2 m ⋅ f x 1 = 1,2

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