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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 130

Considere um bloco de motor de carro ( k   =   52   W / m . K   e   α   =   1,7 x 10 - 5     m ² / s ). O motor pode ser considerado um bloco retangular cujos lados são 80, 40 e 40 cm. O motor está na temperatura de 150 °C quando é desligado. O motor é então exposto ao ar atmosférico a 17 °C, com coeficiente de transferência de calor de 6 W/m².K. Determine (a) a temperatura do centro da superfície superior cujos lados são 80 cm e 40 cm e (b)a temperatura no canto após 45 minutos de resfriamento.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, perceba que as dimensões do bloco são muito próximas entre si, e não podemos considerar uma transferência de calor unidimensional.

No entanto, como todo o bloco está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse bloco multidimensional como o produto das soluções analíticas de três paredes planas:

ϴ B = ϴ p a r e d e p l a n a   1 ∙   ϴ p a r e d e p l a n a   2 ∙   ϴ p a r e d e p l a n a   3  

Ou seja:

T x , y , z ,   t - T ∞ T i - T ∞ B = T x , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a   1 ∙ T y , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a   2 ∙ T z , t - T ∞ T i - T ∞ p a r e d e p l a n a   3

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 150   ° C   T ∞ = 17   ° C k   =   52   W / m . K α   =   1,7 x 10 - 5   m ² / s h = 6   W / m 2 . K

Passo 2

Para resolver o problema, vamos aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:

ϴ p a r e d e p l a n a ( x ,   t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ c o s ⁡ ( λ 1 x / L )

Vamos calcular as dimensões características para o bloco:

L 1 = ( 80   c m ) / 2   = 40   c m = 0,4   m L 2 = ( 4 0   c m ) / 2   = 2 0   c m   = 0 , 2   m L 3 = ( 40   c m ) / 2   = 2 0   c m   = 0 , 2   m

Vamos deixar os três valores do Número de Fourier para 45 min (2700 s):

τ 1 =   α t L 1 =   ( 1,7 x 10 - 5   m ² / s ) ( 2700   s ) 0,4   m 2 = 0,287

τ 2 =   α t L 2 =   ( 1,7 x 10 - 5   m ² / s ) ( 2700   s ) 0,2   m 2 = 1,148

τ 3 =   α t L 3 = ( 1,7 x 10 - 5   m ² / s ) ( 2700   s ) 0,2   m 2 = 1,148

Agora, vamos calcular o número de Biot as três placas planas:

B i 1 =   h L 1 k =   ( 6 W / m 2 . K ) ( 0,4   m )   5 2   W / m . K = 0,462   ≅ 0,5

B i 2 =   h L 2 k =   ( 6 W / m 2 . K ) ( 0,2   m )   52   W / m . K = 0,231   ≅ 0,2

B i 3 =   h L 3 k =   ( 6 W / m 2 . K ) ( 0,2   m )   52   W / m . K = 0,231   ≅ 0,2

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para as três placas planas para encontrar A 1 e λ 1 .

Para a parede plana 1:

B i 1 =   0,5   →   λ 1 = 0,6533   A 1 = 1,0701

Para as paredes planas 2 e 3:

B i 2 = B i 3 =   0,2   →   λ 1 = 0,4328   A 1 = 1,0311

Passo 3

Para resolver a letra (a), devemos entender que a superfície superior é igual x = L 1 e y=z=0:

Para a Parede Plana 1:

ϴ p a r e d e p l a n a   1 L 1 , t = 1,0701 e - ( 0,6533 2 ) 0,287 ⁡ c o s ( 0,6533 ) L 1 L 1 =   0,7518

Agora para os blocos 2 e 3:

ϴ p a r e d e s p l a n a s   2 ,   3 0 , t = 1,0311 e - ( 0,4328 2 ) 1,148 = 0,8316

Para resolver o problema, basta multiplicar as três soluções unidimensionais:

ϴ B = ϴ p a r e d e p l a n a   1 ∙   ϴ p a r e d e p l a n a   2 ∙   ϴ p a r e d e p l a n a   3

ϴ B = 0,7518 ∙ 0,83 1 6 ∙ 0,83 1 6 = 0,5199

Vamos lembrar que

T x , y , z ,   t - T ∞ T i - T ∞ B = ϴ B   → T - 17   ° C 150   ° C - 17   ° C =   0,5199   → T = 86,15   ° C

Passo 4

Para resolver a letra (b), devemos entender que o canto é igual x = L 1 e y= L 2     z= L 3 :

Para a Parede Plana 1:

ϴ p a r e d e p l a n a   1 L 1 , t = 1,0701 e - ( 0,6533 2 ) 0,287 ⁡ c o s ( 0,6533 ) L 1 L 1 =   0,7518

Agora para os blocos 2 e 3:

ϴ p a r e d e s p l a n a s   2 ,   3 0 , t = 1,0311 e - ( 0,4328 2 ) 1,148 c o s 0,4328 = 0 , 7549

ϴ B = 0,7518 ∙ 0,7549 ∙ 0,7549 = 0,4285

Vamos lembrar que

T x , y , z ,   t - T ∞ T i - T ∞ B = ϴ B   → T - 17   ° C 150   ° C - 17   ° C =   0,4285   → T = 74   ° C

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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